Question

請(qǐng)完成下面的說明：
（1）如圖①所示，△ABC的外角平分線交于G，試說明∠BGC=90°-

1

2

∠A．
說明：根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°，可知∠ABC+∠ACB=180°-∠

A

．
根據(jù)平角是180°，可知∠ABE+∠ACF=180°×2=360°，
所以∠EBC+∠FCB=360°-（∠ABC+∠ACB）=360°-（180°-∠

A

）=180°+∠

A

．根據(jù)角平分線的意義，可知∠2+∠3=

1

2

(∠EBC+∠FCB)=

1

2

(180°+∠

A

）=90°+

1

2

∠

A

．所以∠BGC=180°-(∠2+∠3)=90°-

1

2

∠

A

．
（2）如圖②所示，若△ABC的內(nèi)角平分線交于點(diǎn)I，試說明∠BIG=90°+

1

2

∠A．
（3）用（1），（2）的結(jié)論，你能說出∠BGC和∠BIC的關(guān)系嗎？

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得出∠ABC+∠ACB=180°-∠A，再由平角的定義可得出∴∠EBC+∠FCB=360°-（∠ABC+∠ACB）=360°-（180°-∠A）=180°+∠A，根據(jù)角平分線的定義即可得出結(jié)論；
（2）先根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°可知∠ABC+∠ACB=180°-∠A，再由△ABC的內(nèi)角平分線交于點(diǎn)I，
可知∠6+∠7=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=

1

2

（180°-∠A）=90°-

1

2

∠A，故有∠BIG=180°-（∠6+∠8）即可得出結(jié)論．
（3）直接把兩角相加即可得出結(jié)論．

解答：（1）證明：∵根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A．
∵平角是180°，
∴∠ABE+∠ACF=180°×2=360°，
∴∠EBC+∠FCB=360°-（∠ABC+∠ACB）=360°-（180°-∠A）=180°+∠A．
∵△ABC的外角平分線交于G，
∴∠2+∠3=

1

2

(∠EBC+∠FCB)=

1

2

(180°+∠A）=90°+

1

2

∠A，
∴∠BGC=90°-

1

2

∠A．
故答案為：A  A  A  A  A  A；

（2）證明：∵三角形內(nèi)角和等于180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∵△ABC的內(nèi)角平分線交于點(diǎn)I，
∴∠6+∠7=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=

1

2

（180°-∠A）=90°-

1

2

∠A，
∴∠BIG=180°-（∠6+∠8）
=180°-（90°-

1

2

∠A）
=90°+

1

2

∠A，
即∠BIG=90°+

1

2

∠A；

（3）解：∵由（1）、（2）知∠BGC=90°-

1

2

∠A，BIG=90°+

1

2

∠A，
∴∠BGC+∠BIG=90°-

1

2

∠A+90°+

1

2

∠A=180°，
∴∠BGC和∠BIC互補(bǔ)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是三角形內(nèi)角和定理及角平分線的定義，熟知三角形的內(nèi)角和是180°是解答此題的關(guān)鍵．