Question

7．在菱形ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，∠B=120°，AB=4，P是AC上一點(diǎn)，則PE+PD的最小值為2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 首先連接BD，BE，則BE的長(zhǎng)即為PE+PD的最小值，再根據(jù)菱形ABCD中，∠ABC=120°得出∠BCD的度數(shù)，進(jìn)而判斷出△BCD是等邊三角形，故△CBE是直角三角形，根據(jù)勾股定理即可得出BE的長(zhǎng)．

解答 解：連接BD，BE，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴B、D關(guān)于直線AC對(duì)稱，CD=BC=AB=4，
∴BE的長(zhǎng)即為PE+PD的最小值，
∵∠ABC=120°，
∴∠BCD=60°，
∴△BCD是等邊三角形，
∵E是CD的中點(diǎn)，
∴BE⊥CD，CE=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$×4=2，
∴BE=$\sqrt{B{C}^{2}-C{E}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴PE+PD的最小值為2$\sqrt{3}$．
故答案為：2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是軸對(duì)稱-最短路線問題．注意熟知菱形的性質(zhì)及兩點(diǎn)直線線段最短是解答此題的關(guān)鍵．