Question

1．如圖，直線(xiàn)l的解析式為y=-x+4，它與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，平行于直線(xiàn)l的直線(xiàn)m從原點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸的正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，它與x軸、y軸分別相交于M、N兩點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t≤4）．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）以MN為對(duì)角線(xiàn)作矩形OMPN，在直線(xiàn)m的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)△MPN完全夾在直線(xiàn)m和直線(xiàn)l之間時(shí)，△MPN的面積能否達(dá)到△OAB面積的$\frac{3}{16}$？如果能，請(qǐng)求出此時(shí)直線(xiàn)m的解析式；
（3）記△MPN和△OAB重合部分的面積為S，在直線(xiàn)m的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，請(qǐng)寫(xiě)出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出相應(yīng)的自變量取值范圍（直接寫(xiě)結(jié)果，不必寫(xiě)過(guò)程）

Answer 1

分析 （1）分別令直線(xiàn)l的解析式中x=0、y=0求出相對(duì)于的y、x的值，由此即可得出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）假設(shè)能，根據(jù)平移的性質(zhì)找出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用三角形的面積公式求出S_△MPN和S_△OAB的值，根據(jù)兩三角形面積間的關(guān)系找出關(guān)于t的一元二次方程，解方程求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再驗(yàn)證點(diǎn)P是否在直線(xiàn)l的下方，由此即可得出結(jié)論；
（3）令點(diǎn)P在直線(xiàn)l上，求出此時(shí)t的值，根據(jù)重合部分的形狀不同分兩種情況討論：①重合部分為△MPN，利用三角形的面積公式求出S_△MPN；②重合部分為梯形MFEN，利用分割圖形法結(jié)合三角形的面積公式求出S_梯形MFEN．綜合上面兩種情況即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）令y=-x+4中x=0，則y=4，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4）；
令y=-x+4中y=0，則-x+4=0，解得：x=4，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0）．
（2）假設(shè)能，設(shè)直線(xiàn)m的解析式為y=-x+t，
則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（t，0）（t＞0），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，t），
∴四邊形OMPN為以MN為對(duì)角線(xiàn)的正方形形，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（t，t），S_△MPN=S_△OMN=$\frac{1}{2}$OM•ON=$\frac{1}{2}{t}^{2}$．
∵S_△OAB=$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{1}{2}$×4×4=8，S_△MPN=$\frac{3}{16}$S_△OAB，即$\frac{1}{2}{t}^{2}$=$\frac{3}{16}$×8=$\frac{3}{2}$，
∴t=$\sqrt{3}$，或t=-$\sqrt{3}$（舍去），
∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）．
將x=$\sqrt{3}$代入y=-x+4中得：y=4-$\sqrt{3}$，
∵4-$\sqrt{3}$＞2＞$\sqrt{3}$，
∴此時(shí)點(diǎn)P在直線(xiàn)l的下方．
故當(dāng)△MPN完全夾在直線(xiàn)m和直線(xiàn)l之間時(shí)，△MPN的面積能達(dá)到△OAB面積的$\frac{3}{16}$，此時(shí)直線(xiàn)m的解析式為y=-x+$\sqrt{3}$．
（3）當(dāng)點(diǎn)P（t，t）在直線(xiàn)l：y=-x+4上時(shí)，有t=-t+4，
解得：t=2．
△MPN和△OAB重合部分分兩種情況：

①重合部分為△MPN，此時(shí)0＜t≤2，如圖1所示．
S_△MPN=$\frac{1}{2}$t²；
②重合部分為梯形MFEN，此時(shí)2＜t≤4，如圖2所示．
S_梯形MFEN=S_△MPN-S_△FPE=$\frac{1}{2}$t²-$\frac{1}{2}$（2t-4）²=-$\frac{3}{2}{t}^{2}$+8t-8．
綜上可知：S與t的函數(shù)關(guān)系式為S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{t}^{2}（0＜t≤2）}\\{-\frac{3}{2}{t}^{2}+8t-8（2＜t≤4）}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、正方形的性質(zhì)、三角形的面積公式以及分割圖形法求圖形面積，解題的關(guān)鍵是：（1）分別代入x=0、y=0求值；（2）求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）分情況討論．本題屬于中檔題，難度不大，在該題中利用分割圖形法求圖形的面積是難點(diǎn)，在日常練習(xí)中應(yīng)當(dāng)加強(qiáng)練習(xí)．