Question

【題目】如圖，矩形OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上，點A的坐標(biāo)為（10，0），拋物線y=ax2+bx+4過點B，C兩點，且與x軸的一個交點為D（﹣2，0），點P是線段CB上的動點，設(shè)CP=t（0＜t＜10）．

（1）請直接寫出B、C兩點的坐標(biāo)及拋物線的解析式；
（2）過點P作PE⊥BC，交拋物線于點E，連接BE，當(dāng)t為何值時，∠PBE=∠OCD？
（3）點Q是x軸上的動點，過點P作PM∥BQ，交CQ于點M，作PN∥CQ，交BQ于點N，當(dāng)四邊形PMQN為正方形時，請求出t的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在y=ax2+bx+4中，令x=0可得y=4，

∴C（0，4），

∵四邊形OABC為矩形，且A（10，0），

∴B（10，4），

把B、D坐標(biāo)代入拋物線解析式可得 ，解得 ，

∴拋物線解析式為y=﹣ x2+ x+4；

（2）

解：由題意可設(shè)P（t，4），則E（t，﹣ t2+ t+4），

∴PB=10﹣t，PE=﹣ t2+ t+4﹣4=﹣ t2+ t，

∵∠BPE=∠COD=90°，∠PBE=∠OCD，

∴△PBE∽△OCD，

∴ = ，即BPOD=COPE，

∴2（10﹣t）=4（﹣ t2+ t），解得t=3或t=10（不合題意，舍去），

∴當(dāng)t=3時，∠PBE=∠OCD；

（3）

解：當(dāng)四邊形PMQN為正方形時，則∠PMC=∠PNB=∠CQB=90°，PM=PN，

∴∠CQO+∠AQB=90°，

∵∠CQO+∠OCQ=90°，

∴∠OCQ=∠AQB，

∴Rt△COQ∽Rt△QAB，

∴ = ，即OQAQ=COAB，

設(shè)OQ=m，則AQ=10﹣m，

∴m（10﹣m）=4×4，解得m=2或m=8，

①當(dāng)m=2時，CQ= =2 ，BQ= =4 ，

∴sin∠BCQ= = ，sin∠CBQ= = ，

∴PM=PCsin∠PCQ= t，PN=PBsin∠CBQ= （10﹣t），

∴ t= （10﹣t），解得t= ，

②當(dāng)m=8時，同理可求得t= ，

∴當(dāng)四邊形PMQN為正方形時，t的值為 或 ．

【解析】（1）由拋物線的解析式可求得C點坐標(biāo)，由矩形的性質(zhì)可求得B點坐標(biāo)，由B、D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；（2）可設(shè)P（t，4），則可表示出E點坐標(biāo)，從而可表示出PB、PE的長，由條件可證得△PBE∽△OCD，利用相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值；（3）當(dāng)四邊形PMQN為正方形時，則可證得△COQ∽△QAB，利用相似三角形的性質(zhì)可求得CQ的長，在Rt△BCQ中可求得BQ、CQ，則可用t分別表示出PM和PN，可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解矩形的性質(zhì)的相關(guān)知識，掌握矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等，以及對相似三角形的性質(zhì)的理解，了解對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形．