Question

【題目】（1）如圖1，直線(xiàn)a∥b∥c∥d，且a與b，c與d之間的距離均為1，b與c之間的距離為2，現(xiàn)將正方形ABCD如圖放置，使其四個(gè)頂點(diǎn)分別在四條直線(xiàn)上，求正方形的邊長(zhǎng)；
（2）在（1）的條件下，探究：將正方形ABCD改為菱形ABCD，如圖2，當(dāng)∠DCB=120°時(shí)，求菱形的邊長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】解：（1）如圖1，過(guò)B，D分別作直線(xiàn)d的垂線(xiàn)，垂足分別為P，Q，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠BCD=90°，
∴∠PCB+∠QCD=90°，
∵∠PBC+∠PCB=90°，
∴∠PBC=∠QCD，
在△CBP和△CDQ中

∴△CBP≌△CDQ（AAS），
∴CP=DQ=1，
∵BP=3，
∴；
（2）如圖2，過(guò)B，D分別作直線(xiàn)d的垂線(xiàn)，垂足分別為M，N，作∠BPC=∠DQC=120°，P，Q在直線(xiàn)d上，
∵∠DCB=120°，
∴∠PCB+∠DCQ=60°，
∵∠PBC+∠PCB=60°，
∴∠PBC=∠DCQ，
在△BPC和△CQD中

∴△BPC≌△DQC，
∴PC=DQ，PB=CQ，
∵∠BPC=∠DQC=120°，
∴∠BPM=∠DQN=60°，
∴sin∠BPM=，sin∠DQN=，
∵BM=3，DN=1，
∴PB=2，DQ=，
∴PC=DQ=，
∵∠BPM=60°，
∴∠PBM=30°，
∵在RT△PBM中，PM=PB=，
∴MC=PC+PM=，
∴在RT△PBM中，BC===．

【解析】（1）如圖1，過(guò)B，D分別作直線(xiàn)d的垂線(xiàn)，垂足分別為P，Q，通過(guò)證得△CBP≌△CDQ，得出CP=DQ=1，然后根據(jù)勾股定理即可求得；
（2）如圖2，過(guò)B，D分別作直線(xiàn)d的垂線(xiàn)，垂足分別為M，N，作∠BPC=∠DQC=120°，P，Q在直線(xiàn)d上，通過(guò)證得△BPC≌△DQC證得PC=DQ，通過(guò)解直角三角形求得PM，DQ，進(jìn)而求得MC，然后根據(jù)勾股定理即可求得．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的正方形的性質(zhì)，需要了解正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線(xiàn)相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線(xiàn)把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線(xiàn)與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線(xiàn)把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形才能得出正確答案．