Question

如圖，平面直角坐標系中畫出了函數l₁：y₁=kx+b的圖象．

（1）根據圖象，求k，b的值；
（2）請在圖中畫出函數l₂：y₂=-2x的圖象；
（3）分別過A、B兩點作直線l₂的垂線，垂足為E、F．問線段AE、BF、EF三者之間的關系，并說明理由．
（4）設l₃：y₃=kx（k＞0），分別過A、B兩點作直線l₃的垂線，垂足為E、F．直接寫出線段AE、BF、EF三者之間的關系

AE=BF+EF

．
（5）若無論x取何值，y總取y₁、y₂、y₃中的最大值，求y的最小值．

Answer 1

分析：（1）由∠OAB=45°，∠AOB=90°，OB=6，可求得OA=OB=4，然后利用待定系數法，即可求得k，b的值；
（2）取點（0，0），（1，-2），即可畫出y₂=-2x的圖象；
（3）利用AAS，易證得△AOE≌△OBF，則可得到線段AE、BF、EF三者之間的關系；
（4）利用AAS，易證得△AOE≌△OBF，則可得到線段AE、BF、EF三者之間的關系；
（5）由y總取y₁、y₂、y₃中的最大值，易求得當x=2時，y取最小值．

解答：解：（1）∵∠OAB=45°，∠AOB=90°，OB=6，
∴OA=OB=6，
∴點A的坐標為：（-6，0），
∴

-6k+b=0 b=6

，
解得：k=1，b=6；

（2）如圖1：當x=1時，y₂=-2，畫圖得：

（3）AE=BF+EF．
理由：∵AE⊥EF，BF⊥EF，
∴∠AEO=∠BFO=90°，
∵∠AOE+∠BOF=90°，∠BOF+∠FBO=90°，
∴∠AOE=∠FBO，
在△AOE和△BOF中，

∠AEO=∠BFO ∠AOE=∠FBO OA=OB

，
∴△AOE≌△OBF （AAS），
∴AE=OF，OE=BF，
∵OF=OE+EF，
∴AE=BF+EF；

（4）猜想：AE=BF+EF．
證明∵AE⊥EF，BF⊥EF，
∴∠AEO=∠BFO=90°，
∵∠AOE+∠BOF=90°，∠BOF+∠FBO=90°，
∴∠AOE=∠FBO，
在△AOE和△BOF中，

∠AEO=∠BFO ∠AOE=∠FBO OA=OB

，
∴△AOE≌△OBF （AAS），
∴AE=OF，OE=BF，
∵OF=OE+EF，
∴AE=BF+EF；
故答案為：AE=BF+EF；

（5）聯立函數l₁與函數l₂可得：

y=x+6 y=-2x

，
解得：

x=-2 y=4

，
聯立函數l₁與函數l₃可得：

y=x+6 y=kx

，
解得：

x= 6 k-1 y= 6k k-1

，
∴函數l₁與函數l₂的交點為：（-2，4），函數l₁與函數l₃的交點為：（

6

k-1

，

6k

k-1

），
如圖3，當0＜k＜1，
當x＜-2時，y=-2x＞4，
當x＞-2時，y=x+6＞4，
當x=-2時，y=4；
∴此時y的最小值為4；
如圖4，當k＞1，
當x＜-2時，y=-2x＞4，
當x=-2時，y=4；
當-2＜x＜

6

k-1

時，y=x+6＞4，
當x≥

6

k-1

時，y=

6k

k-1

=6+

6

k-1

＞6；
∴此時y的最小值為4；
綜上可得：y的最小值是4．

點評：此題考查了一次函數的性質、待定系數法求函數的一次解析式、一次函數的交點以及全等三角形的判定與性質．此題難度較大，注意掌握方程思想、分類討論思想與數形結合思想的應用．