Question

正方形和圓都是人們比較喜歡的圖形，給人以美的感受．某校數(shù)學(xué)興趣小組在研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)：

（Ⅰ）在如圖（1）中研究以AB為直徑的半圓中，裁剪處面積最大的正方形CDEF時(shí)驚喜地發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)C和點(diǎn)F其實(shí)分別是線段AF和的BC黃金分割點(diǎn)．如果設(shè)圓的半徑為r，此時(shí)正方形的邊長(zhǎng)a₁=

 

．
（Ⅱ）如圖（2），如果在半徑為r的半圓中裁剪處兩個(gè)同樣大小且分別面積最大的正方形的邊長(zhǎng)a₂=

 

；如圖（3），并列n個(gè)正方形時(shí)的邊長(zhǎng)a_n=

 

．
（Ⅲ）如圖（4），當(dāng)n=9時(shí)，我們還可以在第一層的上面再裁剪出同樣大小的正方形，也可以再在第二層的上面再裁剪出第三層同樣大小的正方形，問最多可以裁剪到第

 

層？

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：根據(jù)直角三角形的射影定理（Ⅰ）（Ⅱ）都可以求得；（Ⅲ）通過觀察排列的規(guī)律即可判斷．

解答：解：（Ⅰ）由于點(diǎn)C和點(diǎn)F其實(shí)分別是線段AF和的BC黃金分割點(diǎn)．
所以a₁²=（r+

a1

2

）（r-

a1

2

），
解得：a₁=

2 5

5

r；
（Ⅱ）根據(jù)題意得：a₂²=（r+a₂）（r-a₂），
解得a₂=

2

2

r；
a_n=（r+

1

n

a_n）（r-

1

n

a_n），
解得a_n=（2

1 4+n2

）r；
（Ⅲ）當(dāng)n=9時(shí)，我們還可以在第一層的上面再裁剪出同樣大小7個(gè)正方形，再在第二層的上面再裁剪出第三層同樣大小5正方形，依此類推，4層是3個(gè)，5層1個(gè)；
所以最多可以裁剪到第 5層．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形的射影定理的運(yùn)用，圓的圓周角的性質(zhì)：直徑所對(duì)的圓周角是直角．