Question

13．如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，4），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒3的單位長(zhǎng)度的速度沿x軸向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1的單位長(zhǎng)度的速度沿線(xiàn)段BC向左運(yùn)動(dòng)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，P，Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．
（1）當(dāng)t=$\frac{3}{2}$s時(shí)，四邊形OPQC為矩形；
（2）當(dāng)t=$\frac{1}{2}$s時(shí)，線(xiàn)段PQ平分四邊形OABC的面積；
（3）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)以ACPQ為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)，求該平行四邊形的面積．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)CQ=OP時(shí)，四邊形OPQC為矩形，由題意可知：CQ=6-t，OP=3t，列式計(jì)算；
（2）因?yàn)锽C∥OA，則由線(xiàn)段PQ分四邊形OABC所成的梯形的高相等，所以當(dāng)OP+CQ=BQ+AP時(shí)，線(xiàn)段PQ平分四邊形OABC的面積；代入計(jì)算求t的值；
（3）當(dāng)CQ=AP時(shí)，四邊形CPAQ為平行四邊形，根據(jù)圖3和圖4列式計(jì)算求出t的值，并求平行四邊形CPAQ的面積．

解答 解：（1）如圖1，由題意得：OP=3t，BQ=t，CQ=6-t，
∵B（6，4），C（0，4），
∴BC∥x軸，即BC∥OP，
∵∠COP=90°，
∴當(dāng)CQ=OP時(shí)，四邊形OPQC為矩形，
則6-t=3t，
t=$\frac{3}{2}$，
故答案為：$\frac{3}{2}$s；
（2）如圖2，∵BC∥OA，且AB與OC不平行，
∴四邊形OABC為梯形，
若線(xiàn)段PQ平分四邊形OABC的面積，
則有：OP+CQ=BQ+AP，
3t+6-t=t+8-3t，
t=$\frac{1}{2}$，
故答案為：$\frac{1}{2}$s．
（3）①如圖3，∵CQ∥AP，
∴當(dāng)CQ=AP時(shí)，四邊形CPAQ為平行四邊形，
即：6-t=8-3t，
t=1，
∴S_?CPAQ=AP•OC=（8-3t）×4=（8-3）×4=20；
②如圖4，當(dāng)CQ=AP時(shí)，四邊形CPAQ為平行四邊形，
6-t=3t-8，
t=$\frac{7}{2}$，
∴S_?CAPQ=AP•OC=（3t-8）×4=（3×$\frac{7}{2}$-8）×4=10；
綜上所述：①當(dāng)t=1s時(shí)，S_?CPAQ=20；
②當(dāng)t=$\frac{7}{2}$s時(shí)，S_?CAPQ=10．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形的綜合題，以?xún)蓚�(gè)動(dòng)點(diǎn)P、Q為背景，考查了平行四邊形、矩形、梯形的性質(zhì)及面積；此類(lèi)題的解題思路為：首先根據(jù)運(yùn)動(dòng)路徑、時(shí)間和速度確定其運(yùn)動(dòng)的路程，即能用時(shí)間t表示各條線(xiàn)段的長(zhǎng)，再利用已知條件找等量關(guān)系列方程．