Question

18．如圖，已知函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象經(jīng)過點A、B，點B的坐標(biāo)為（2，2）．過點A作AC⊥x軸，垂足為C，過點B作BD⊥y軸，垂足為D，AC與BD交于點F．一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過點A、D，與x軸的負半軸交于點E．
（1）若AC=2OD時，
①直接寫出點A坐標(biāo)（1，4），四邊形ADCB是菱形
②求a、b的值；
（2）若EC=3DB，求a的值．

Answer 1

分析 （1）①由函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象經(jīng)過點A、B，點B的坐標(biāo)為（2，2），可求得反比例函數(shù)的解析式，又由AC=2OD，可求得點A的縱坐標(biāo)，則可求得點A坐標(biāo)；由AF=CF=2，DF=BF=1，AC⊥BD，可證得四邊形ADCB是菱形；
②將A與D的坐標(biāo)代入，利用待定系數(shù)法即可求得a、b的值；
（2）首先設(shè)點C的坐標(biāo)為（m，0），首先由EC=3DB，求得點E與點A的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得一次函數(shù)的解析式．

解答 解：（1）∵函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象經(jīng)過點A、B，點B的坐標(biāo)為（2，2），
∴k=xy=2×2=4，OD=2，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y=$\frac{4}{x}$，
①∵BD⊥y軸，
∴點D的坐標(biāo)為：（0，2），即OD=2，
∵AC=2OD=2×2=4，AC⊥x軸，
∴點A的縱坐標(biāo)為4，
∴4=$\frac{4}{x}$，
解得：x=1，
∴點A坐標(biāo)為：（1，4）；
∴AF=CF=2，DF=BF=1，
∴四邊形ADCB是平行四邊形，
∵AC⊥BD，
∴四邊形ADCB是菱形；
故答案為：（1，4），菱；
②把點D與點A代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{a+b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=2}\end{array}\right.$
∴a=2，b=2；

（2）∵EC=3DB，DB=2，
∴EC=6，
設(shè)點C的坐標(biāo)為（m，0），則點A的坐標(biāo)為：（m，$\frac{4}{m}$），
點E的坐標(biāo)為：（m-6，0），
∵點D的坐標(biāo)為（0，2），
∴b=2，
把E，A的坐標(biāo)代入y=ax+2得：$\left\{\begin{array}{l}{am+2=\frac{4}{m}}&{①}\\{a（m-6）+2=0}&{②}\end{array}\right.$，
由②得a=$\frac{2}{6-m}$代入①，
得到$\frac{2m}{6-m}$+2=$\frac{4}{m}$，
解得m=$\frac{3}{2}$代入①可得a=$\frac{4}{9}$．

點評 此題屬于反比例函數(shù)綜合題．考查了待定系數(shù)求函數(shù)解析式以及菱形的判定的知識．注意求得各點的坐標(biāo)是解此題的關(guān)鍵．