Question

3．如圖，已知點(diǎn)A₁，A₂，…，A_n均在直線y=x-1上，點(diǎn)B₁，B₂，…，B_n均在雙曲線y=-$\frac{1}{x}$ 上，并且滿足：A₁B₁⊥x軸，B₁A₂⊥y軸，A₂B₂⊥x軸，B₂A₃⊥y軸，…，A_nB_n⊥x軸，B_nA_n+1⊥y軸，…，記點(diǎn)A_n的橫坐標(biāo)為a_n（n為正整數(shù)）．若a₁=-1，則a₂₀₁₆=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 首先根據(jù)a₁=-1，求出a₂=2，a₃=$\frac{1}{2}$，a₄=-1，a₅=2，…，所以a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，…，每3個(gè)數(shù)一個(gè)循環(huán)，分別是-1、2、$\frac{1}{2}$；然后用2015除以3，根據(jù)商和余數(shù)的情況，判斷出a₂₀₁₆是第幾個(gè)循環(huán)的第幾個(gè)數(shù)，進(jìn)而求出它的值是多少即可．

解答 解：∵a₁=-1，
∴B₁的坐標(biāo)是（-1，1），
∴A₂的坐標(biāo)是（2，1），
即a₂=2，
∵a₂=2，
∴B₂的坐標(biāo)是（2，-$\frac{1}{2}$），
∴A₃的坐標(biāo)是（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），
即a₃=$\frac{1}{2}$，
∵a₃=$\frac{1}{2}$，
∴B₃的坐標(biāo)是（$\frac{1}{2}$，-2），
∴A₄的坐標(biāo)是（-1，-2），
即a₄=-1，
∵a₄=-1，
∴B₄的坐標(biāo)是（-1，1），
∴A₅的坐標(biāo)是（2，1），
即a₅=2，
…，
∴a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，…，每3個(gè)數(shù)一個(gè)循環(huán)，分別是-1、2、$\frac{1}{2}$，
∵2016÷3=672，
∴a₂₀₁₆是第672個(gè)循環(huán)的第3個(gè)數(shù)，
∴a₂₀₁₆=$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) （1）此題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①圖象上的點(diǎn)（x，y）的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy=k；②雙曲線是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，兩個(gè)分支上的點(diǎn)也是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；③在xk圖象中任取一點(diǎn)，過(guò)這一個(gè)點(diǎn)向x軸和y軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值|k|．
（2）此題還考查了一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：一次函數(shù)y=kx+b，（k≠0，且k，b為常數(shù)）的圖象是一條直線．它與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（-$\frac{k}$，0）；與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，b）．直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=kx+b．