Question

（1）如圖①已知AB是⊙O直徑，P是AB上一點（與A、B不重合），QP⊥AB，垂足為P，直線QA交⊙O于C點，過C點作⊙O的切線交直線QP于點D，試證明：△CDQ是等腰三角形；
（2）對第（1）題，當點P在BA的延長線上時，其他條件不變；如圖②，（1）中的結論還成立嗎？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC，則OC⊥CD．根據平角的定義，有∠DCQ+∠OCA=90°．又∠A+∠Q=90°，∠A=∠OCA，可得∠DCQ=∠Q．問題得證．
（2）同理可證結論成立．
解答：證明：（1）連接OC．
∵DC是⊙O的切線，
∴OC⊥DC，
∴∠DCO=90°，
即：∠QCD+∠ACO=90°． （1分）
∵OC=OA，
∴∠ACO=∠A．
∴∠QCD+∠A=90°．
∵QP⊥AB，
∴∠Q+∠A=90°．
∴∠Q=∠QCD，
∴DQ=DC，即△CDQ是等腰三角形．                     （3分）

解：（2）成立．
連接OC．
∵DC是⊙O的切線，
∴OC⊥DC，
∴∠DCO=90°，即：∠QCD+∠ACO=90°．               （1分）
∵OC=OA，
∴∠ACO=∠OAC．
∵∠OAC=∠QAP，
∴∠ACO=∠QAP．
∵QP⊥AB，
∴∠Q+∠QAP=90°．
∴∠Q+∠ACO=90°，
∴∠Q=∠QCD．
∴DQ=DC，即△CDQ是等腰三角形．                     （3分）
點評：此題考查了切線的性質和等腰三角形的判定，難度中等．
已知直線與圓相切于圓上一點，連接圓心和切點構成垂直關系是常作的輔助線．