Question

【題目】（本小題滿分10分）已知關于x的方程mx2-(3m－1)x+2m－2=0

（1）求證：無論m取任何實數(shù)時，方程恒有實數(shù)根.

（2）若關于x的二次函數(shù)y= mx2-(3m－1)x+2m－2的圖象與x軸兩交點間的距離為2時，求拋物線的解析式.

（3）在直角坐標系xoy中，畫出（2）中的函數(shù)圖象，結(jié)合圖象回答問題：當直線y=x+b與（2）中的函數(shù)圖象只有兩個交點時，求b的取值范圍.

Answer 1

【答案】

（1）略

（2）y1= x（x－2）或y2=（x－2）（x－4）

（3）當b<－或b>－或b=－2時，直線y=x+b與（2）中的圖象只有兩個交點

【解析】解：（1）分兩種情況討論：

①當m=0時，方程為x－2=0，∴x=2 方程有實數(shù)根

②當m≠0時，則一元二次方程的根的判別式

△=[－（3m－1）]2－4m（2m－2）=m2+2m+1=（m+1）2≥0

不論m為何實數(shù)，△≥0成立，∴方程恒有實數(shù)根

綜合①②，可知m取任何實數(shù)，方程mx2-(3m－1)x+2m－2=0恒有實數(shù)根.

（2）設x1，x2為拋物線y= mx2-(3m－1)x+2m－2與x軸交點的橫坐標.

則有x1+x2=，x1·x2=

由| x1－x2|====，

由| x1－x2|=2得=2，∴=2或=－2

∴m=1或m=

∴所求拋物線的解析式為：y1=x2－2x或y2=x2+2x－

即y1= x（x－2）或y2=（x－2）（x－4）其圖象如圖所示.

（3）在（2）的條件下，直線y=x+b與拋物線y1，y2組成的圖象只有兩個交點，結(jié)合圖象，求b的取值范圍.

，當y1=y時，得x2－3x－b=0，△=9+4b=0，解得b=－；

同理，可得△=9－4（8+3b）=0，得b=－.

觀察函數(shù)圖象可知當b<－或b>－時，直線y=x+b與（2）中的圖象只有兩個交點.

由

當y1=y2時，有x=2或x=1

當x=1時，y=－1

所以過兩拋物線交點（1，－1），（2，0）的直線y=x－2，

綜上：當b<－或b>－或b=－2時，直線y=x+b與（2）中的圖象只有兩個交點.