Question

【題目】在中，，，以為邊在的另一側(cè)作，點(diǎn)為射線上任意一點(diǎn)，在射線上截取，連接、、．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)落在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，的度數(shù)為__________．

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在線段（不含邊界）上時(shí)，與交于點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)（1）中的結(jié)論是否仍成立？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）在（2）的條件下，若，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）的最大值為9

【解析】

（1）通過(guò)證△ABD≌△ACE，來(lái)求∠ADE的角度

（2）如下圖，先證，到得∠1=∠2，在推導(dǎo)出∠DAE的角度，進(jìn)而得出結(jié)論；

（3）利用得到AF、AD、AC之間的關(guān)系，當(dāng)最短時(shí)，最短、最長(zhǎng)，從而求得CF的長(zhǎng)

（1）∵AB=AC，∠BAC=120°

∴∠B=∠ACB=30°

∵∠ACM=∠ACB

∴∠B=∠ACM

又∵BD=CE

∴ABD≌ACE

∴AD=AE，∠EAD=120°

∴∠ADE=30°

（2）（1）中的結(jié)論還成立

證明：（如圖所示）．

∵，，

∴．

又∵，∴．

又∵，∴．

∴，．

∴．即．

又∵，∴．

（3）∵，，∴．

∵且，

∴．∴．∴．

∴．∴

∴當(dāng)最短時(shí)，最短、最長(zhǎng)．

易得當(dāng)時(shí)，最短、最長(zhǎng)，此時(shí)．

∴的最大值為9