Question

【題目】點D是等邊△ABC(即三條邊都相等，三個角都相等的三角形)邊BA上任意一點(點D與點B不重合)，連接DC．

(1)如圖1，以DC為邊在BC上方作等邊△DCF，連接AF，猜想線段AF與BD的數(shù)量關系？請說明理由．

(2)如圖2，若以DC為邊在BC上方、下方分別作等邊△DCF和等邊△DCF′，連接AF、BF′，探究AF、BF′與AB有何數(shù)量關系？請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)BD＝AF，理由見解析；(2)AB＝AF+BF′，理由見解析.

【解析】

（1）證明△BCD≌△ACF，即可得出結論；（2）證明△F′CB≌△DCA，得到BF′＝DA，再由（1）即可得到結論.

(1)BD＝AF，

理由：∵△ABC和△DCF都是等邊三角形，

∴BC＝AC，CD＝CF，∠ACB＝∠DCF＝60°，

∴∠BCD＝∠ACF，

在△BCD和△ACF中，

，

∴△BCD≌△ACF(SAS)，

∴BD＝AF；

(2)AB＝AF+BF′，

理由：∵△ABC和△DCF都是等邊三角形，

∴BC＝AC，CF′＝CD，∠F′CD＝∠BCA＝60°，

∴∠F′CB＝∠DCA，

在△F′CB和△DCA中，

，

∴△F′CB≌△DCA(SAS)，

∴BF′＝DA，

由(1)知，BD＝AF，

∵AB＝BD+AD，

∴AB＝AF+BF′．