Question

【題目】如圖，在中，弦與弦相交于點(diǎn)，于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，．

（1）若，求證：是的切線；

（2）若，，請(qǐng)用表示的半徑；

（3）求證：．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠OAB=∠OBA，然后根據(jù)OA⊥CD得到∠OAB+∠AGC=90°推出∠FBG+∠OBA=90°，從而得到OB⊥FB，再根據(jù)切線的定義證明即可；
（2）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠ACF=∠F，根據(jù)垂徑定理可得，連接OC，設(shè)圓的半徑為r，表示出OE，然后利用勾股定理列式計(jì)算即可求出r；
（3）連接BD，根據(jù)在同圓或等圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等可得∠DBG=∠ACF，然后求出∠DBG=∠F，從而求出△BDG和△FBG相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式表示出BG2，然后代入，整理等式左邊即可得證．

（1）∵

∴，

∵，

∴

又∵，，

∴

即，

∴

∴是的切線；

（2）∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，即，

解得，

連接，設(shè)圓的半徑為，則，

在中，，

即，

解得；

（3）證明：連接,

∵，（已證）

∴

又∵，

∴

∴

即，

∴，

即．