Question

6．把兩塊全等的直角三角板ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點(diǎn)D與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重合，DF經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4，把三角板ABC固定不動(dòng)，讓三角板DEF繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α．其中0°＜α＜90°，設(shè)射線DE與射線AB相交于點(diǎn)P，射線DF與線段BC相交于點(diǎn)Q．下面三個(gè)結(jié)論：
（1）△APD∽△CDQ；
（2）AP•CQ的值不變，為8；
（3）當(dāng)45°≤α＜90°時(shí)，設(shè)CQ=x，兩塊三角板重疊面積為$y=4-x-\frac{8-4x}{4-x}$．
其中正確的是（　�。�

• A． （1）與（2）
• B． （1）與（3）
• C． （2）與（3）
• D． 全正確

Answer 1

分析 利用等腰直角三角形的性質(zhì)得∠A=∠EDF=∠C=45°，AC=$\sqrt{2}$AB=4$\sqrt{2}$，則AD=CD=2$\sqrt{2}$，討論：當(dāng)0°＜α＜45°，如圖1，利用三角形外角性質(zhì)可證明∠ADP=∠DQC，加上∠A=∠C，則根據(jù)相似三角形的判定方法可判斷△APD∽△CDQ，利用相似比可得AP•CQ=CD•AD=8，當(dāng)45°≤α＜90°，如圖2，利用同樣方法可證明△APD∽△CDQ，同樣得到AP•CQ=CD•AD=8，于是可對(duì)（1）、（2）進(jìn)行判斷；如圖2，作DH⊥BC于H，DE交BC于M，由AP•CQ=8得到AP=$\frac{8}{x}$，則PB=$\frac{8}{x}$-4，證明△BPM∽△HDM，利用相似比可表示出BM=$\frac{8-4x}{4-x}$，所以MQ=4-x-$\frac{8-4x}{4-x}$，根據(jù)三角形面積公式得到S_△DMQ=$\frac{1}{2}$•2•（4-x-$\frac{8-4x}{4-x}$）=4-x-$\frac{8-4x}{4-x}$，則可對(duì)（3）進(jìn)行判斷．

解答 解：∵△ABC和△DEF為全等的等腰直角三角形，
∴∠A=∠EDF=∠C=45°，AC=$\sqrt{2}$AB=4$\sqrt{2}$，
∴AD=CD=2$\sqrt{2}$，
當(dāng)0°＜α＜45°，如圖1，∵∠ADQ=∠C+∠DQC，即∠ADP+∠PDQ=∠C+∠DQC，
∴∠ADP=∠DQC，
而∠A=∠C，
∴△APD∽△CDQ，
∴AP：CD=AD：CQ，
∴AP•CQ=CD•AD=2$\sqrt{2}$•2$\sqrt{2}$=8，
當(dāng)45°≤α＜90°，如圖2，同樣方法得到△APD∽△CDQ，則AP：CD=AD：CQ，
∴AP•CQ=CD•AD=2$\sqrt{2}$•2$\sqrt{2}$=8，所以（1）、（2）正確；
如圖2，作DH⊥BC于H，DE交BC于M，則DH=BH=$\frac{1}{2}$AB=2，
∵AP•CQ=8，
∴AP=$\frac{8}{x}$，
∴PB=AP-AB=$\frac{8}{x}$-4，
∵PB∥DH，
∴△BPM∽△HDM，
∴BM：HM=BP：DH=（$\frac{8}{x}$-4）：2，即BM：（2-BM）=（$\frac{8}{x}$-4）：2，
∴BM=$\frac{8-4x}{4-x}$，
∴MQ=BC-BM-CQ=4-x-$\frac{8-4x}{4-x}$，
∴S_△DMQ=$\frac{1}{2}$•2•（4-x-$\frac{8-4x}{4-x}$）=4-x-$\frac{8-4x}{4-x}$，
即當(dāng)45°≤α＜90°時(shí)，設(shè)CQ=x，兩塊三角板重疊面積為$y=4-x-\frac{8-4x}{4-x}$，所以（3）正確．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了幾何變換綜合題：熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)；會(huì)靈活應(yīng)用相似三角形的判定與性質(zhì)．利用三角形面積公式，用x表示出MQ是判斷（3）是否正確的關(guān)鍵．