Question

10．如圖示我國漢代數(shù)學家趙爽在注解《周脾算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”，圖中的四個直角三角形是全等的，如果大正方形ABCD的面積是小正方形EFGH面積的13倍，那么tan∠ADE的值為$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 小正方形EFGH面積是a²，則大正方形ABCD的面積是13a²，則小正方形EFGH邊長是a，則大正方形ABCD的面積是$\sqrt{13}$a，設AE=DH=x，利用勾股定理求出x，最后利用熟記函數(shù)即可解答．

解答 解：設小正方形EFGH面積是a²，則大正方形ABCD的面積是13a²，
∴小正方形EFGH邊長是a，則大正方形ABCD的邊長是$\sqrt{13}$a，
∵圖中的四個直角三角形是全等的，
∴AE=DH，
設AE=DH=x，
在Rt△AED中，AD²=AE²+DE²，
即13a²=x²+（x+a）²
解得：x₁=2a，x₂=-3a（舍去），
∴AE=2a，DE=3a，
∴tan∠ADE=$\frac{AE}{DE}=\frac{2a}{3a}=\frac{2}{3}$，
故答案為：$\frac{2}{3}$．

點評 此題中根據(jù)正方形以及直角三角形的面積公式求得直角三角形的三邊，進一步運用銳角三角函數(shù)的定義求解．