Question

如圖，矩形DEFG的邊EF在△ABC的邊BC上，頂點(diǎn)D、G分別在邊AB、AC上，AH⊥BC，垂足為H．已知BC=12，AH=8．當(dāng)矩形DEFG面積最大時(shí)，求矩形的長(zhǎng)和寬．

Answer 1

分析：根據(jù)矩形面積=長(zhǎng)×寬，可以先設(shè)出未知數(shù)DE=x，再把另一邊用x表示出來(lái)，求出面積表達(dá)式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值即可．

解答：解：設(shè)DE=x，S_矩形=y，
∵四邊形DGFE是矩形，
∴DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∴

AP

AH

=

DG

BC

，
∵AP=AH-PH=AH-DE=8-x，BC=12，AH=8，
∴

8-x

8

=

DG

12

，
∴DG=

3

2

（8-x），
∴y=DG•DE=

3

2

（8-x）x=12x-x²=-（x-6）²+36，
從而當(dāng)x=6時(shí)，y有最大值36．此時(shí)矩形的寬為6，即四邊形DGEF為正方形，
答：矩形DEFG的長(zhǎng)和寬都是6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及二次函數(shù)的應(yīng)用，以及二次函數(shù)求最值的問(wèn)題，只要能熟練掌握，便能很容易的解決問(wèn)題．