Question

如圖，矩形DEFG的邊EF在△ABC的邊BC上，頂點(diǎn)D、G分別在邊AB、AC上，AH⊥BC，垂足為H．已知BC=12，AH=8．
（1）當(dāng)矩形DEFG為正方形時(shí)，求該正方形的邊長(zhǎng)；
（2）當(dāng)矩形DEFG面積為18時(shí)，求矩形的長(zhǎng)和寬．

Answer 1

分析：（1）DG∥BC得△ADG∽△ABC，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊上高的比等于相似比，列方程求解．
（2）設(shè)DE=a，DG=b，利用相似三角形得到

b

12

=

8-a

8

，再根據(jù)矩形DEFG面積為18列出方程a(12-

3

2

a)=18求得a值代入求得b值即可．

解答：解：（1）記AH與DG的交點(diǎn)為H，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為x，
∵正方形DEFG，EF在邊BC上
∴DG∥BC
得△ADG∽△ABC
∴

DG

BC

=

AP

AH

…（2分）
由BC=12AH=8
可得

x

12

=

8-x

8

…（1分）
∴x=

24

5

…（2分）

（2）設(shè)DE=a，DG=b
可得

b

12

=

8-a

8

…（1分）
即b=12-

3

2

a
∵矩形DEFG面積為18
即ab=18
∴a(12-

3

2

a)=18…（1分）
解得a₁=2，a₂=6…（2分）
當(dāng)a=2時(shí)，b=9；當(dāng)a=6時(shí)，b=3
∴矩形的長(zhǎng)寬分別為2、9或6、3．…（1分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．關(guān)鍵是由平行線得到相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)列方程．