如圖在平面直角坐標(biāo)系中，菱形AOBC的頂點(diǎn)C在y軸上，雙曲線y=
k
x
恰好經(jīng)過頂點(diǎn)A，且對角線AB=8，OC=6

（1）求雙曲線的解析式；
（2）若點(diǎn)E（-
4
3
，a）在線段AC上，P為線段OC上一點(diǎn)，過P點(diǎn)的直線PE交AO的延長線于點(diǎn)F，且OF=CE，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在第四象限的雙曲線上，是否存在一點(diǎn)M，使S△AMC=2S△AOC？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
分析：（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得到A點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，3），然后利用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的解析式；
（2）作EH⊥y軸于H，F(xiàn)Q⊥y軸于Q，先利用待定系數(shù)法確定直線AC的解析式為y=
4
3
x+6，則可得到E點(diǎn)坐標(biāo)為（-
4
3
，5），則CH=1，EH=
4
3
，然后證明Rt△CEH≌Rt△OFQ，則CH=OQ=1，EH=EQ=
4
3
，所以F點(diǎn)坐標(biāo)為（
4
3
，-1），接著先利用待定系數(shù)法確定直線EF的解析式為y=-
9
4
x+2，于是可得到P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）由于S△AMC=2S△AOC，而OC=6，把直線AC向下平移12個(gè)單位，得直線l，則l的解析式為y=
4
3
x-6，所以直線l與反比例函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)為M點(diǎn)，然后解方程組
y=
3
4
x-6
y=-
12
x
可確定M點(diǎn)坐標(biāo)．
解答：解：（1）∵四邊形AOBC為菱形，
∴AB與OC互相垂直平分，
∴AD=
1
2
AB=4，OD=
1
2
OC=3
∵而C在y軸上，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，3），
把A（-4，3）代入y=
k
x
得k=-4×3=-12，
∴雙曲線的解析式為y=-
12
x
；

（2）作EH⊥y軸于H，F(xiàn)Q⊥y軸于Q，如圖2，
設(shè)直線AC的解析式為y=mx+n，
把A（-4，3）和C（0，6）代入得
-4m+n=3
n=6
，解得
m=
3
4
n=6
，
∴直線AC的解析式為y=
4
3
x+6，
把點(diǎn)E（-
4
3
，a）代入a=
4
3
×（-
3
4
）+6=5，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（-
4
3
，5），
∴CH=1，EH=
4
3

∵四邊形AOBC為菱形，
∴∠ACO=∠AOC，
而∠AOC=∠QOF，
∴∠AOC=∠QOF，
∵CE=OF，
∴Rt△CEH≌Rt△OFQ，
∴CH=OQ=1，EH=EQ=
4
3
，
∴F點(diǎn)坐標(biāo)為（
4
3
，-1），
設(shè)直線EF的解析式為y=ax+b，
把E點(diǎn)（-
4
3
，5）、F（
4
3
，-1）代入得
-
4
3
a+b=5
4
3
m+n=-1
，解得
a=-
9
4
b=2
，
∴直線EF的解析式為y=-
9
4
x+2，
令x=0，則y=2，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）；

（3）存在．
∵S△AMC=2S△AOC，
而OC=6，
把直線AC向下平移12個(gè)單位，得直線l，則l的解析式為y=
4
3
x-6，
∴直線l與反比例函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)為M點(diǎn)，
解方程組
y=
3
4
x-6
y=-
12
x
得
x=4
y=-3
，
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-3）．
點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；熟練運(yùn)用菱形的性質(zhì)和解析式法確定直線交點(diǎn)坐標(biāo)．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

21、如圖在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB的頂點(diǎn)分別為A（2，0），O（0，0），B（0，4）．
①△AOC與△AOB關(guān)于x軸成軸對稱，則C點(diǎn)坐標(biāo)為
（0，-4）
；
②將△AOB繞AB的中點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△EGF，則點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為
（3，3）
；
③在圖中畫出△AOC和△EGF，△AOB與△EGF重疊的面積為
1
平方單位．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），以點(diǎn)A為圓心，2為半徑的圓與x軸交于O，B兩點(diǎn)，C為⊙A上一點(diǎn)，P是x軸上的一點(diǎn)，連接CP，將⊙A向上平移1個(gè)單位長度，⊙A與x軸交于M、N，與y軸相切于點(diǎn)G，且CP與⊙A相切于點(diǎn)C，∠CAP=60°．請你求出平移后MN和PO的長．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖在平面直角坐標(biāo)系中，將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)C（-1，0），如圖所示點(diǎn)B在拋物線y=ax2+ax-2上．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的解析式；
（3）將三角板ABC繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°到達(dá)△AB′C′的位置，請寫出點(diǎn)B′坐標(biāo)
（1，-1）
（1，-1）
，點(diǎn)C′坐標(biāo)
（2，1）
（2，1）
；判斷點(diǎn)B′
在
在
，C′
在
在
（填“在”或“不”）在（2）中的拋物線上．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖在平面直角坐標(biāo)系中，M為x軸上一點(diǎn)，⊙M交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于C、D兩點(diǎn)，P為
BC
上的一個(gè)動點(diǎn)，CQ平分∠PCD交AP于Q，A（-1，0），M（1，0）．
（1）求C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在
BC
上運(yùn)動時(shí)，線段AQ的長是否改變？若不變，請求出其長度；若改變，請說明理由．（提示：連接AC）．
（3）當(dāng)點(diǎn)P在
BC
上運(yùn)動時(shí)，是否存在這樣的點(diǎn)P，使CQ所在直線經(jīng)過點(diǎn)M？若存在請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖在平面直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)坐標(biāo)為（8，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6）C是線段AB的中點(diǎn)．請問在y軸上是否存在一點(diǎn)P，使得以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

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同步練習(xí)冊答案