Question

如圖，兩等圓⊙O₁、⊙O₂相交于A、B兩點(diǎn)，且兩圓互相過圓心，過B作任一直線，分別交⊙O₁、⊙O₂于C、D兩點(diǎn)，連接AC、AD．
（1）試猜想△ACD的形狀，并給出證明．
（2）若已知條件中兩圓不一定互相過圓心，試猜想三角形的形狀是怎樣的？證明你的結(jié)論．
（3）若⊙O₁、⊙O₂是兩個(gè)不相等的圓，半徑分別為R和r，那么（2）中的猜想還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，那么AC和AD的長與兩圓半徑有什么關(guān)系？說明理由．

Answer 1

分析：（1）先判斷△ACD為等邊三角形．連接AO₁，AO₂，BO₁，BO₂，O₁O₂，根據(jù)已知條件能證明∠ADB=∠ACB=60°，則△ACD為等邊三角形．
（2）先判斷△ACD為等腰三角形．連接AO₁，AO₂，BO₁，BO₂，根據(jù)已知條件能證明∠ADB=∠ACB，則△ACD為等腰三角形．
（3）得出結(jié)論，不成立，此時(shí)，

AC

AD

=

R

r

，
連接CE，DF，AB，則有∠AEC=∠ADF=90°，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形外角的性質(zhì)得出∠ABC=∠AFD．再證明△ACE∽△ADF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出

AC

AD

=

R

r

．

解答：解：（1）△ACD為等邊三角形．
∵兩圓是等圓，且兩圓互相過圓心，如圖，
連接AO₁，AO₂，BO₁，BO₂，O₁O₂，
則AO₁=AO₂=BO₁=BO₂=O₁O₂，
∴∠AO₁B=∠AO₂B=120°，
∴∠ADB=∠ACB=60°，
∴△ACD為等邊三角形．

（2）△ACD為等腰三角形．
∵兩圓是等圓，如圖，
連接AO₁，AO₂，BO₁，BO₂，
則AO₁=AO₂=BO₁=BO₂，∴∠AO₁B=∠AO₂B，
∴∠ADB=∠ACB；
∴△ACD為等腰三角形．

（3）不成立，此時(shí)，

AC

AD

=

R

r

，
如圖，分別作⊙O₁，⊙O₂的直徑AE，AF，分別交兩圓于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，
連接CE，DF，AB，則∠ACE=∠ADF=90°
又∠ABC是圓內(nèi)接四邊形ABDF的外角，
∴∠ABC=∠AFD．
∵∠ABC=∠AEC，
∴∠AEC=∠AFD，
∵∠ACE=∠ADF，
∴△ACE∽△ADF，
∴

AC

AD

=

AE

AF

=

2R

2r

=

R

r

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相交兩圓的性質(zhì)、等腰三角形的判定、圓周角定理以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，是一道綜合題難度較大．