Question

如圖是某種圓形裝置的示意圖，圓形裝置中，⊙O的直徑AB=5，AB的不同側(cè)有定點C和動點P，tan∠CAB=．其運動過程是：點P在弧AB上滑動，過點C作CP的垂線，與PB的延長線交于點Q．
（1）當(dāng)PC=______時，CQ與⊙O相切；此時CQ=______．
（2）當(dāng)點P運動到與點C關(guān)于AB對稱時，求CQ的長；
（3）當(dāng)點P運動到弧AB的中點時，求CQ的長．

Answer 1

解：（1）當(dāng)CP過圓心O，即CP為圓O的直徑時，CQ與⊙O相切，理由為：
∵PC⊥CQ，PC為圓O的直徑，
∴CQ為圓O的切線，
此時PC=5；
∵∠CAB=∠CPQ，
∴tan∠CAB=tan∠CPQ=，
∴tan∠CPQ===，
則CQ=；
故答案為：5；；
（2）當(dāng)點P運動到與點C關(guān)于AB對稱時，如圖1所示，此時CP⊥AB于D，

又∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，
∵AB=5，tan∠CAB=，
∴BC=4，AC=3，
又∵S_△ABC=AC•BC=AB•CD，
∴AC•BC=AB•CD，即3×4=5CD，
∴CD=，
∴PC=2CD=，
在Rt△PCQ中，∠PCQ=90°，∠CPQ=∠CAB，
∴CQ=PCtan∠CPQ=PC，
∴CQ=×=；
（3）當(dāng)點P運動到弧AB的中點時，如圖2所示，過點B作BE⊥PC于點E，

∵P是弧AB的中點，∠PCB=45°，
∴CE=BE=2，
又∠CPB=∠CAB，
∴tan∠CPB=tan∠CAB==，
∴PE==BE=，
∴PC=CE+PE=2+=，
由（2）得，CQ=PC=．
分析：（1）當(dāng)CQ為圓O的切線時，CQ為圓O的切線，此時CP為圓的直徑，由CQ垂直于直徑CP，得到CQ為切線，即可得到CP的長；由同弧所對的圓周角相等得到一對角相等，由已知角的正切值，在直角三角形CPQ中，利用銳角三角函數(shù)定義即可求出CQ的長；
（2）當(dāng)點P運動到與點C關(guān)于AB對稱時，如圖1所示，此時CP⊥AB于D，由AB為圓O的直徑，得到∠ACB為直角，在直角三角形ACB中，由tan∠CAB與AB的長，利用銳角三角函數(shù)定義求出AC與BC的長，再由三角形ABC的面積由兩直角邊乘積的一半來求，也利用由斜邊乘以斜邊上的高CD的一半來求，求出CD的長，得到CP的長，同弧所對的圓周角相等得到一對角相等，由已知角的正切值，得到tan∠CPB的值，由CP的長即可求出CQ；
（3）當(dāng)點P運動到弧AB的中點時，如圖2所示，過點B作BE⊥PC于點E，由P是弧AB的中點，得到∠PCB=45°，得到三角形EBC為等腰直角三角形，由CB的長，求出CE與BE的長，在直角三角形EBP中，由∠CPB=∠CAB，得到tan∠CPB=tan∠CAB，利用三角函數(shù)定義求出PE的長，由CP+PE求出CP的長，即可求出CQ的長．
點評：此題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，銳角三角函數(shù)定義，勾股定理，以及等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．