Question

【題目】如圖所示，已知直線(xiàn)L過(guò)點(diǎn)A（0，1）和B（1，0），P是x軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，OP的垂直平分線(xiàn)交L于點(diǎn)Q，交x軸于點(diǎn)M．

（1）直接寫(xiě)出直線(xiàn)L的解析式；

（2）設(shè)OP＝t，△OPQ的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；并求出當(dāng)0＜t＜2時(shí)，S的最大值；

（3）直線(xiàn)L1過(guò)點(diǎn)A且與x軸平行，問(wèn)在L1上是否存在點(diǎn)C，使得△CPQ是以Q為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，并證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝1﹣x；（2），S有最大值；（3）存在點(diǎn)C（1，1）．

【解析】

（1）已知直線(xiàn)L過(guò)A，B兩點(diǎn)，可將兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線(xiàn)的解析式中，用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)L的解析式；

（2）求三角形OPQ的面積，就需知道底邊OP和高QM的長(zhǎng)，已知了OP為t，關(guān)鍵是求出QM的長(zhǎng)．已知了QM垂直平分OP，那么OM＝t，然后要分情況討論：①當(dāng)OM＜OB時(shí)，即0＜t＜2時(shí)，BM＝OB﹣OM，然后在等腰直角三角形BQM中，即可得出QM＝BM，由此可根據(jù)三角形的面積公式得出S與t的函數(shù)關(guān)系式；②當(dāng)OM＞OB時(shí)，即當(dāng)t≥2時(shí)，BM＝OM﹣OB，然后根據(jù)①的方法即可得出S與t的函數(shù)關(guān)系式，然后可根據(jù)0＜t＜2時(shí)的函數(shù)的性質(zhì)求出S的最大值；

（3）如果存在這樣的點(diǎn)C，那么CQ＝QP＝OQ，因此C，O就關(guān)于直線(xiàn)BL對(duì)稱(chēng)，因此C的坐標(biāo)應(yīng)該是（1，1）．那么只需證明CQ⊥PQ即可．分三種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)Q在線(xiàn)段AB上（Q，B不重合），且P在線(xiàn)段OB上時(shí)．要證∠CQP＝90°，那么在四邊形CQPB中，就需先證出∠QCB與∠QPB互補(bǔ)，由于∠QPB與∠QPO互補(bǔ)，而∠QPO＝∠QOP，因此只需證∠QCB＝∠QOB即可，根據(jù)折疊的性質(zhì)，這兩個(gè)角相等，由此可得證；②當(dāng)Q在線(xiàn)段AB上，P在OB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，根據(jù)①已得出∠QPB＝∠QCB，那么這兩個(gè)角都加上一個(gè)相等的對(duì)頂角后即可得出∠CQP＝∠CBP＝90度；③當(dāng)Q與B重合時(shí)，很顯然，三角形CQP應(yīng)該是個(gè)等腰直角三角形．綜上所述即可得出符合條件C點(diǎn)的坐標(biāo)．

（1）y＝1﹣x；

（2）∵OP＝t，

∴Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，

①當(dāng)，即0＜t＜2時(shí)，QM=1-t，

∴S△OPQ＝t（1﹣t），

②當(dāng)t≥2時(shí)，QM＝|1﹣t|＝t﹣1，

∴S△OPQ＝t（t﹣1），

∴

當(dāng)0＜t＜1，即0＜t＜2時(shí)，S＝t（1﹣t）＝﹣（t﹣1）2+，

∴當(dāng)t＝1時(shí)，S有最大值；

（3）由OA＝OB＝1，故△OAB是等腰直角三角形，

若在L1上存在點(diǎn)C，使得△CPQ是以Q為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，

則PQ＝QC，

所以OQ＝QC，又L1∥x軸，則C，O兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)L對(duì)稱(chēng)，

所以AC＝OA＝1，得C（1，1）．下面證∠PQC＝90度．連CB，則四邊形OACB是正方形．

①當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段OB上，Q在線(xiàn)段AB上（Q與B、C不重合）時(shí)，如圖﹣1，

由對(duì)稱(chēng)性，得∠BCQ＝∠QOP，∠QPO＝∠QOP，

∴∠QPB+∠QCB＝∠QPB+∠QPO＝180°，

∴∠PQC＝360°﹣（∠QPB+∠QCB+∠PBC）＝90度；

②當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段OB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，Q在線(xiàn)段AB上時(shí)，如圖﹣2，如圖﹣3

∵∠QPB＝∠QCB，∠1＝∠2，

∴∠PQC＝∠PBC＝90度；

③當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)，顯然∠PQC＝90度，

綜合①②③，∠PQC＝90度，

∴在L1上存在點(diǎn)C（1，1），使得△CPQ是以Q為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形．