Question

6．如圖1，已知拋物線y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2，與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，點(diǎn)M（$\frac{5}{2}$，0）為拋物線上一點(diǎn)，且N為拋物線上的點(diǎn)，且橫坐標(biāo)為3．
（1）求S_△ABD的面積；
（2）點(diǎn)E、F是拋物線對(duì)稱軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)F下方），且EF=1，當(dāng)四邊形EFMN的周長(zhǎng)最小時(shí)，過直線ME下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)H作y軸的平行線交直線NE于點(diǎn)G，求GH的長(zhǎng)度取得最大值時(shí)H點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）如圖2，將直線BC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后對(duì)稱軸交于點(diǎn)I，點(diǎn)P為拋物線一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)問是否存在點(diǎn)A、I、P、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在，求出所有滿足條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出拋物線與x，y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再用三角形的面積公式計(jì)算即可；
（2）先判斷出四邊形EFMN的周長(zhǎng)最小時(shí)，F(xiàn)M+EM的最小值為線段M′N′的位置，再確定出函數(shù)關(guān)系式，判斷出極值；
（3）分兩種情況討論，當(dāng)AI是平行四邊形的一條對(duì)角線時(shí)和AI是平行四邊形的一條邊，用平行四邊形的對(duì)角線互相平分和中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{25}{8}$，
∴令x=0，y=-2，
令y=0，得x₁=4，x₂=-1，
∴A（-1，0），B（4，0）．C（0，-2），D（$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{8}$），
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$×AB×|y_D|=$\frac{1}{2}$×5×$\frac{25}{8}$=$\frac{125}{16}$，
（2）如圖，

∵M(jìn)（$\frac{5}{2}$，0），N（3，-2），
∴MN=$\frac{\sqrt{17}}{2}$，
∵EF=1，
∴要求四邊形EFMN的周長(zhǎng)最小，只需FM+EM最小即可，
作矩形KLNR，取M關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)M′（$\frac{1}{2}$，0）
在RN上取點(diǎn)N′，使NN′=1，
∴N′（3，-1），
連接M′N′交對(duì)稱軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)N作EN∥M′N′于點(diǎn)E，
∴四邊形EFN′N是平行四邊形，
∴FM+EM的最小值為線段M′N′，
∴直線M′N′的解析式為y=-$\frac{2}{5}$x+$\frac{1}{5}$，
令x=$\frac{3}{2}$，得y=-$\frac{2}{5}$，
∴F（$\frac{3}{2}$，-$\frac{2}{5}$），
∵EF=1且E在F下方，
∴E（$\frac{3}{2}$，-$\frac{7}{5}$），
∴直線ME解析式為y=$\frac{7}{5}$x-$\frac{7}{2}$，
∵$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{7}{5}x-\frac{7}{2}}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{3}{2}x-2}\end{array}\right.$
∴x₁=-$\frac{3}{5}$，x₂=5，
設(shè)H（m，$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m-2）（-$\frac{3}{5}$＜m＜5），
∵N（3，-2），E（$\frac{3}{2}$，-$\frac{7}{5}$），
∴直線NE解析式為y=-$\frac{2}{5}$x-$\frac{4}{5}$
∴G（m，-$\frac{2}{5}$m-$\frac{4}{5}$），
∵GH∥y軸，
∴GH=|（$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m-2）-（-$\frac{2}{5}$m-$\frac{4}{5}$）|=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}（m-\frac{11}{10}）^{2}-\frac{71}{40}（3≤m＜5）}\\{-\frac{1}{2}（m-\frac{11}{10}）^{2}+\frac{71}{40}（-\frac{3}{5}＜m＜3）}\end{array}\right.$
∴當(dāng)m=$\frac{11}{10}$時(shí)，GH最大，
∴H（$\frac{11}{10}$，-$\frac{609}{200}$），
（3）設(shè)拋物線對(duì)稱軸交x軸于G，則BG=$\frac{5}{2}$，
∵△BOC∽△IGB，
∴$\frac{IG}{OB}=\frac{BG}{OC}$，
∴$\frac{IG}{4}=\frac{\frac{5}{2}}{2}$，
∴IG=5，
∴I（$\frac{3}{2}$，5），
∴AG=$\frac{5}{2}$，
①當(dāng)AI是平行四邊形的一條邊時(shí)，
設(shè)Q（0，m），P（n，$\frac{1}{2}$n²-$\frac{3}{2}$n-2），
∵A（-1，0），I（$\frac{3}{2}$，5），
Ⅰ、當(dāng)AQ是對(duì)角線時(shí)，AQ和PI互相平分，
利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，-1=n+$\frac{3}{2}$，
∴n=-$\frac{5}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$n²-$\frac{3}{2}$n-2=$\frac{39}{8}$，
∴P₁（-$\frac{5}{2}$，$\frac{39}{8}$），
Ⅱ、當(dāng)AP是對(duì)角線時(shí)，AP和IQ互相平分，
根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，n-1=$\frac{3}{2}$，
∴n=$\frac{5}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$n²-$\frac{3}{2}$n-2=-$\frac{21}{8}$，
P₂（$\frac{5}{2}$，-$\frac{21}{8}$），
②如圖2，

當(dāng)AI是平行四邊形的一條對(duì)角線時(shí)，
∵I（$\frac{3}{2}$，5），A（-1，0），
∴IA的中點(diǎn)G（$\frac{1}{4}$，$\frac{5}{2}$），
設(shè)Q（0，m），P₃（n，$\frac{1}{2}$n²-$\frac{3}{2}$n-2），
∵點(diǎn)A、I、P₃、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形，
∴P₃Q也過G點(diǎn)，且平分AI，
∴n=$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$n²-$\frac{3}{2}$n-2+m=5，
∴m=$\frac{61}{8}$，
$\frac{1}{2}$n²-$\frac{3}{2}$n-2=-$\frac{21}{8}$，
∴P₃（$\frac{1}{2}$，-$\frac{21}{8}$），
即：P₁（-$\frac{5}{2}$，$\frac{39}{8}$），P₂（$\frac{5}{2}$，-$\frac{21}{8}$），P₃（$\frac{1}{2}$，-$\frac{21}{8}$），

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)的確定，相似三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，函數(shù)極值的確定方法，解本題的關(guān)鍵是利用相似確定線段的長(zhǎng)．