Question

已知二次函數(shù)的圖象過點（3，-8），對稱軸為直線x=-2，函數(shù)與x軸的兩個交點的距離為6，求：
（1）圖象與x軸的兩個交點A、B（A在B的左邊）的坐標(biāo)；
（2）函數(shù)圖象與y軸交點C的坐標(biāo)及頂點P的坐標(biāo)；
（3）求四邊形PABC的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)兩交點間的距離求出交點到對稱軸的距離，即可得到點A、B的坐標(biāo)；
（2）設(shè)出交點式解析式y(tǒng)=a（x+5）（x-1），然后把點（3，-8）代入解析式求出a值，即可得到函數(shù)解析式，把二次函數(shù)解析式整理成一般形式，再根據(jù)與y軸的交點的橫坐標(biāo)為0，頂點坐標(biāo)的橫坐標(biāo)為x=-2進(jìn)行計算即可得解；
（3）根據(jù)四邊形的面積等于兩個直角三角形的面積與一個梯形的面積的和，然后利用三角形的面積與梯形的面積公式列式計算即可得解．

解答：解（1）∵因為拋物線對稱軸為直線x=-2，且圖象與x軸的兩個交點的距離為6，
∴點A、B到直線x=-2的距離為3，
∴A為（-5，0），B為（1，0）；

（2）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+5）（x-1），
把（3，-8）代入得：a（3+5）（3-1）=-8，
解得a=-

1

2

，
所以，拋物線的解析式為y=-

1

2

（x+5）（x-1）=-

1

2

x²-2x+

5

2

，
當(dāng)x=-2時，y=

9

2

，
所以，函數(shù)圖象與y軸交點C為（0，

5

2

），頂點P為（-2，

9

2

）；

（3）由圖得：S_{四邊形PABC}=

1

2

×3×

9

2

+

1

2

×1×

5

2

+

1

2

×（

5

2

+

9

2

）×2
=

27

4

+

5

4

+7
=8+7
=15．

點評：本題考查了拋物線與x軸的交點，根據(jù)二次函數(shù)圖象的軸對稱求出點A、B的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，（2）利用交點式二次函數(shù)解析式更加簡便，要求對二次函數(shù)常見的幾種形式要熟練掌握并靈活運用．