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已知二次函數的圖象過A(-3,0)、B(1,0)兩點.
(1)當這個二次函數的圖象又過點C(0,3)時,求其解析式.
(2)設(1)中所求二次函數圖象的頂點為P,求S△APC:S△ABC的值.
(3)如果二次函數圖象的頂點M在對稱軸上移動,并與y軸交于點D,S△AMD:S△ABD的值確定嗎?為什么?
分析:(1)已知了拋物線上A、B、C三點的坐標,可用待定系數法求出拋物線的解析式.
(2)先根據拋物線的解析式求出P點的坐標,由于△APC的面積無法直接求出,因此可用四邊形AOCP的面積(梯形PCNO的面積+△APN的面積)-△AOC的面積來求得.△ABC中,已知了A、B、C三點的坐標,即可根據三角形面積公式求出其面積.據此可求出兩三角形的面積比.
(3)可用交點式二次函數通式來設出拋物線的解析式,然后表示出其頂點M的坐標,按(2)的方法分別求出△AMD和△ABD的面積.進行比較即可(要注意二次函數二次項系數的符號要分正負兩種情況進行討論).
解答:精英家教網解:(1)設二次函數的解析式為:y=a(x-x1)(x-x2
∵二次函數的圖象過A(-3,0)、B(1,0)兩點
∴y=a(x+3)(x-1)
∵二次函數的圖象過點C(0,3)
∴3=a(0+3)(0-1)
∴a=-1
∴所求二次函數的解析式為:y=-x2-2x+3

(2)∵y=-x2-2x+3
∴P的坐標為(-1,4)
過點P作二次函數圖象的對稱軸交x軸于N
∵S△APC=S梯形PNOC+S△APN-S△AOC=
1
2
(OC+PN)•ON+
1
2
AN•PN-
1
2
OA•OC=
1
2
(3+4)×1+
1
2
×2×4-
1
2
×3×3=3
S△ABC=
1
2
AB•OC=
1
2
×4×3=6
∴S△APC:S△ABC=3:6=1:2;

(3)設此二次函數的解析式為:y=a(x+3)(x-1)=ax2+2ax-3a
∴D(0,-3a)
∵點M在對稱軸x=-1上,且在函數圖象上
∴M(-1,-4a)
當a=0時,即頂點在對稱軸與x軸的交點處,函數圖象不存在
∴S△AMD:S△ABD的值不存在.
當a≠0時,S△AMD=S梯形ODMN+S△AMN-S△AOD=
1
2
(OD+MN)•ON+
1
2
AN•MN-
1
2
OA•OD
=
1
2
(|-3a|+|-4a|)×1+
1
2
×2×|-4a|-
1
2
×3×|-3a|
=
3
2
|-4a|-|-3a|精英家教網
S△ABD=
1
2
AB•OD=
1
2
×4×|-3a|=2|-3a|
S△AMD
S△ABD
=
3
2
|-4a|-|-3a|
2|-3a|

當a<0時:
S△AMD
S△ABD
=
3
2
|-4a|-|-3a|
2|-3a|
=
-3a
-6a
=
1
2

當a>0時:
S△AMD
S△ABD
=
3
2
|-4a|-|-3a|
2|-3a|
=
3a
6a
=
1
2

∴當a≠0時,S△AMD:S△ABD的值是確定的.
點評:本題考查了二次函數解析式的確定、圖形的面積求法等知識及綜合應用知識、解決問題的能力.要注意(3)中a的符號不確定時,要分類進行討論.
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