Question

如圖，在直線m上擺放著三個正三角形：△ABC、△HFG、△DCE，已知BC=GE，F(xiàn)、G分別是BC、CE的中點，F(xiàn)M∥AC，GN∥DC．設(shè)圖中三個平行四邊形的面積依次是S₁，S₂，S₃，若S₁+S₃=20，則S₂等于

1. A.
   7
2. B.
   8
3. C.
   9
4. D.
   10

Answer 1

B
分析：首先要弄清的是S₁與S_△OFC（即a）、S₃與S_△GNE（即b）的關(guān)系；以前者為例，若設(shè)△OFC中，OC邊上的高為h，則a=OC•h，而S₁=OA•h；由于BF=FC，且△BMF、△FOC都是等邊三角形，故OA=BF=FC=OC，由此發(fā)現(xiàn)S₁=2a，同理S₃=2b；由于△OFC和△GNE都是等邊三角形，所以它們都相似，且相似比為1：2（因為BC=GE=2FC），故b=4a，a+b=5a=（S₁+S₃）=10，由此可得a=2，b=4；然后按照上面的方法證S₂與S_△PCG（即b）的關(guān)系，從而得到S₂的面積．
解答：解：如圖；（a、b分別表示△OFC、△GNE的面積）
∵F、G分別是BC、CE的中點，
∴△BMF、△OFC以及△CPG、△GNE都是全等的等邊三角形；
∴S_△CPG=b；
設(shè)M到AC的距離為h，則S₁=OA•h，a=OC•h；
∵OA=MF=OC，∴S₁=2a，同理可得S₃=2b；
易知△OFC∽△NGE，則a：b=FC²：GE²=1：4，即b=4a；
∵a+b=（S₁+S₃）=10，故a=2，b=8；
∴S_△PCG=b=8；
梯形COHG中，PH=OC=FM=CG=PG，同上可證得S₂=S_△CPG；
所以S₂=b=8，故選B．
點評：此題主要考查了等邊三角形、平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)及圖形面積的求法；此題主要運用相似三角形的對應(yīng)邊成比例及面積比等于相似比的平方求解，能夠發(fā)現(xiàn)△OFC、△GEN的面積之間的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．