Question

4．已知直線y=-x+4與x軸、y軸分別交于A，B兩點，與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的圖象交于C，D兩點，若AB=$\sqrt{2}$CD，則k的值為（　�。�

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 先求得OA=OB=4，然后根據(jù)已知求得DE=EC=2$\sqrt{2}$，設C（a，b），則D（a-2$\sqrt{2}$，b+2$\sqrt{2}$），根據(jù)k=ab=（a-2$\sqrt{2}$）（b+2$\sqrt{2}$），得出a-b=2$\sqrt{2}$①，把C的坐標代入直線解析式得出b=-a+4②，從而求得a、b的值，即可求得k的值．

解答 解：由直線y=-x+4可知A（4，0），B（0，4），則OA=OB=4，
作DE∥OB，EC∥OA，
∴△AOB∽△CED，
∴$\frac{DE}{OB}$=$\frac{EC}{OA}$=$\frac{DC}{AB}$，
∵AB=$\sqrt{2}$CD，
∴DE=EC=2$\sqrt{2}$，
設C（a，b），則D（a-2$\sqrt{2}$，b+2$\sqrt{2}$），
∵k=ab=（a-2$\sqrt{2}$）（b+2$\sqrt{2}$），
∴a-b=2$\sqrt{2}$①，
∵點C在直線AB上，
∴b=-a+4②，
①+②求得a=$\sqrt{2}$+2，
∴b=2-$\sqrt{2}$，
∴k=ab=（2+$\sqrt{2}$）（2-$\sqrt{2}$）=2．
故選C．

點評 本題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的交點問題，弄清題意列出等式是解本題的關鍵．