Question

如圖，AB為⊙O的直徑，BC⊥AB，OC過(guò)BD中點(diǎn)M，求證：CD是⊙O的切線．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：證明題

分析：連結(jié)OD，如圖，根據(jù)圓周角定理，由AB為⊙O的直徑得到∠ADB=90°，易得OM為△ABD的中位線，則OM∥AD，所以∠BMO=∠ADB=90°，于是可判斷OC垂直平分BD，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得CD=CB，則∠1=∠2，加上∠3=∠4，所以∠CBO=∠CDO=90°，然后根據(jù)切線的判定定理得到CD是⊙O的切線．

解答：證明：連結(jié)OD，如圖，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∵點(diǎn)M為BD的中點(diǎn)，O點(diǎn)為AB的中點(diǎn)，
∴OM為△ABD的中位線，
∴OM∥AD，
∴∠BMO=∠ADB=90°，
∴OC垂直平分BD，
∴CD=CB，
∴∠1=∠2，
而OB=OD，
∴∠3=∠4，
∴∠1+∠3=∠2+∠4，即∠CBO=∠CDO，
∵BC⊥AB，
∴∠CBO=90°，
∴∠CDO=90°，
∴OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切線．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．