Question

如圖，正方形ABCD繞點A逆時針旋轉，得到正方形AB′C′D′，當兩正方形重疊部分的面積是原正方形面積的

1

4

時，sin

1

2

∠B′AD=

 

．

Answer 1

考點：旋轉的性質

專題：計算題

分析：B′C′交CD于E，如圖，根據旋轉的性質得AB′=AD，∠B′=∠D=90°，再證明Rt△ADE≌Rt△AB′E，得到S_△ADE=S_△AB′E，∠1=∠2，則S_△ADE=

1

8

S_{正方形ABCD}，即

1

2

AD•DE=

1

8

•AD•AD，所以DE=

1

4

AD，接著在Rt△ADE中利用勾股定理計算出AE=

17

DE，然后利用正弦的定義得sin∠2=

DE

AE

=

17

17

，即sin

1

2

∠B′AD=

17

17

．

解答：解：B′C′交CD于E，如圖，
∵正方形ABCD繞點A逆時針旋轉，得到正方形AB′C′D′，
∴AB′=AD，∠B′=∠D=90°，
在Rt△ADE和Rt△AB′E中，

AD=AB′ AE=AE

，
∴Rt△ADE≌Rt△AB′E（HL），
∴S_△ADE=S_△AB′E，∠1=∠2，
∵兩正方形重疊部分的面積是原正方形面積的

1

4

，
∴S_△ADE=

1

8

S_{正方形ABCD}，
∴

1

2

AD•DE=

1

8

•AD•AD，
∴DE=

1

4

AD，
在Rt△ADE中，AE=

DE2+AD2

=

DE2+16DE2

=

17

DE，
∴sin∠2=

DE

AE

=

1

17

=

17

17

．
即sin

1

2

∠B′AD=

17

17

．
故答案為

17

17

．

點評：本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了正方形的性質和銳角三角函數的定義．