Question

【題目】（問(wèn)題發(fā)現(xiàn)）

（1）如圖1所示，在中，，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，作，交于點(diǎn)，則________；

（類(lèi)比研究）

（2）將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2所示位置，此時(shí)（1）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（拓展延伸）

（3）若點(diǎn)為邊中點(diǎn)，在繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）成立；理由見(jiàn)詳解；（3）BD的長(zhǎng)為或.

【解析】

（1）根據(jù)ED∥AB，得出，結(jié)合三角函數(shù)的定義計(jì)算sin30°即可；

（2）根據(jù)在Rt△BAC和Rt△DEC中，BC=2AC，DC=2EC，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)推出△BDC∽△AEC即可得出結(jié)論成立；

（3）當(dāng)B、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)構(gòu)圖如下，分兩種情況討論：

①旋轉(zhuǎn)至圖②中△CED的位置時(shí)，在Rt△BEC和Rt△DEC中，分別利用勾股定理計(jì)算BE、BD，然后求線段差即可；

②旋轉(zhuǎn)至圖②中△C的位置時(shí)，由切線長(zhǎng)定理知BE=B，然后計(jì)算線段和即可．

（1）∵ED∥AB，∠B=30°，AC=2，∠A=90°，

∴，

∴，

故答案為：2；

（2）成立．理由如下：

∵∠ABC=30°，∠EDC=30°，

∴在Rt△BAC和Rt△DEC中，BC=2AC，DC=2EC，

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知，∠BCD=∠ACE，

∴△BDC∽△AEC，

∴，

故答案為：成立；

（3）當(dāng)B、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)構(gòu)圖如下，分兩種情況

①旋轉(zhuǎn)至圖②中△CED的位置時(shí)，在Rt△ABC中，BC=2AC=4，

∵點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，

∴CE=1，

∴在Rt△BEC中，BE=，

∵在Rt△DEC中，EC=1，∠EDC=30°，

∴DE=，

∴BD=；

②旋轉(zhuǎn)至圖②中△C的位置時(shí)，由切線長(zhǎng)定理知BE=B=，

∴由①知，B，

綜上所述，BD的長(zhǎng)為或，

故答案為：；．