Question

11．如圖，己知函數(shù)y=-$\frac{4}{3}$x+4的圖象與坐標軸的交點分別為點A、B，點C與點B關于
x軸對稱，動點P、Q分別在線段BC、AB上（點P不與點B、C重合）．且∠APQ=∠
ABO
（1）點A的坐標為（3，0），AC的長為5；
（2）判斷∠BPQ與∠CAP的大小關系，并說明理由；
（3）當△APQ為等腰三角形時，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）利用坐標軸上點的坐標特征可求出A、B點的坐標，再利用關于x軸對稱的點的坐標特征得到C點坐標，然后利用勾股定理可計算出AC的長；
（2）利用對稱性質(zhì)得到AB=AC，則∠1=∠2，而∠APQ=∠1，所以∠2=∠APQ，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠BPA=∠2+∠3，易得∠BPQ=∠3；
（3）分類討論：當PA=PQ，如圖1，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠PQA=∠PAQ，利用三角形外角性質(zhì)和等量代換可得∠PQA=∠BPA，則BP=BA=5，所以OP=BP-OB=1，于是得到此時P點坐標為（0，-1）；當AQ=AP，由于∠AQP=∠APQ，∠AQP=∠BPA，兩者相矛盾，此情況不存在；當QA=QP，如圖2，則∠APQ=∠PAQ，由于∠1=∠APQ，則∠1=∠PAQ，所以PA=PB，設P（0，t），則PB=PA=4-t，在Rt△OPA中利用勾股定理得到t²+3²=（4-t）²，解得t=$\frac{7}{8}$，從而可得到此時P點坐標為（0，$\frac{7}{8}$）．

解答 解：（1）當y=0時，-$\frac{4}{3}$x+4=0，解得x=3，則A（3，0），
當x=0時，y=-$\frac{4}{3}$x+4=4，則B（0，4），
∵點C與點B關于x軸對稱，
∴C（0，-4），
∴AC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5；
故答案為（3，0），5；
（2）∠BPQ=∠CAP．理由如下：
∵點C與點B關于x軸對稱，
∴AB=AC，
∴∠1=∠2，
∵∠APQ=∠1，
∴∠2=∠APQ，
∵∠BPA=∠2+∠3，
即∠BPQ+∠APQ=∠2+∠3，
∴∠BPQ=∠3；
（3）當PA=PQ，如圖1，則∠PQA=∠PAQ，
∵∠PQA=∠1+∠BPQ=∠APQ+∠BPQ=∠BPA，
∴BP=BA=5，
∴OP=BP-OB=1，
∴P（0，-1）；
當AQ=AP，則∠AQP=∠APQ，
而∠AQP=∠BPA，所以此情況不存在；
當QA=QP，如圖2，則∠APQ=∠PAQ，
而∠1=∠APQ，
∴∠1=∠PAQ，
∴PA=PB，
設P（0，t），則PB=4-t，
∴PA=4-t，
在Rt△OPA中，∵OP²+OA²=PA²，
∴t²+3²=（4-t）²，解得t=$\frac{7}{8}$，
∴P（0，$\frac{7}{8}$），
綜上所述，滿足條件的P點坐標為（0，-1），（0，$\frac{7}{8}$）．

點評 本題考查了一次函數(shù)的綜合題：熟練掌握一次函數(shù)圖象上點的坐標特征和等腰三角形的性質(zhì)；理解坐標與圖形性質(zhì)，能利用兩點間的距離公式計算線段的長；會運用注意分類討論思想的解決數(shù)學問題．