Question

已知（x+y+z）²≥n（xy+yz+zx），n能取的最大值為    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)完全平方公式的應(yīng)用得出（x²+y²+z²）≥（n-2）（xy+yz+zx），進(jìn)而得出（xy+yz+zx）≥（n-2）（xy+yz+zx），再利用xy+yz+zx＞0時(shí)，1≥n-2，以及xy+yz+zx＜0時(shí)，1≤n-2，分別得出即可．
解答：解：（x+y+z）²=x²+y²+z²+2xy+2yz+2zx≥n（xy+yz+zx），
（x²+y²+z²）≥（n-2）（xy+yz+zx）（1），
因?yàn)閤²+y²≥2xy，
y²+z²≥2yz，
z²+x²≥2zx，
即2（x²+y²+z²）≥2（xy+yz+zx），
（x²+y²+z²）≥（xy+yz+zx）（2）
由（1）（2）可知，要使（1）恒成立，只需使
（xy+yz+zx）≥（n-2）（xy+yz+zx），
xy+yz+zx=0時(shí)，等號(hào)恒成立，n可以取全體實(shí)數(shù)R，
xy+yz+zx＞0時(shí)，1≥n-2，n最大取3，
xy+yz+zx＜0時(shí)，1≤n-2，n最小取3．
故答案為：3．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了完全平方公式的應(yīng)用，根據(jù)已知得出（x²+y²+z²）≥（n-2）（xy+yz+zx）與（x²+y²+z²）≥（xy+yz+zx）是解決問題的關(guān)鍵．