Question

【題目】已知二次函數(shù)y=x2+bx+c（b，c為常數(shù)）．
（1）當(dāng)b=2，c=﹣3時(shí)，求二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）當(dāng)c=10時(shí)，若在函數(shù)值y=1的情況下，只有一個(gè)自變量x的值與其對(duì)應(yīng)，求此時(shí)二次函數(shù)的解析式；
（3）當(dāng)c=b2時(shí)，若在自變量x的值滿足b≤x≤b+3的情況下，與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y的最小值為21，求此時(shí)二次函數(shù)的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)b=2，c=﹣3時(shí)，二次函數(shù)的解析式為y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，

故當(dāng)x=﹣1時(shí)，二次函數(shù)取得最小值﹣4

（2）解：當(dāng)c=10時(shí)，二次函數(shù)的解析式為y=x2+bx+10，

由題意得，x2+bx+10=1有兩個(gè)相等是實(shí)數(shù)根，

∴△=b2﹣36=0，

解得b1=6，b2=﹣6，

∴二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=x2+6x+10，y=x2﹣6x+10

（3）解：當(dāng)c=b2時(shí)，二次函數(shù)解析式為y═x2+bx+b2，

圖象開口向上，對(duì)稱軸為直線x=﹣ ，

①當(dāng)﹣ ＜b，即b＞0時(shí)，

在自變量x的值滿足b≤x≤b+3的情況下，y隨x的增大而增大，

∴當(dāng)x=b時(shí)，y=b2+bb+b2=3b2為最小值，

∴3b2=21，解得b1=﹣ （舍去），b2= ；

②當(dāng)b≤﹣ ≤b+3時(shí)，即﹣2≤b≤0，

∴x=﹣ ，y= b2為最小值，

∴ b2=21，解得b1=﹣2 （舍去），b2=2 （舍去）；

③當(dāng)﹣ ＞b+3，即b＜﹣2，

在自變量x的值滿足b≤x≤b+3的情況下，y隨x的增大而減小，

故當(dāng)x=b+3時(shí)，y=（b+3）2+b（b+3）+b2=3b2+9b+9為最小值，

∴3b2+9b+9=21．解得b1=1（舍去），b2=﹣4；

∴b= 時(shí)，解析式為：y=x2+ x+7

b=﹣4時(shí)，解析式為：y=x2﹣4x+16．

綜上可得，此時(shí)二次函數(shù)的解析式為y=x2+ x+7或y=x2﹣4x+16

【解析】（1）把b=2，c=﹣3代入函數(shù)解析式，求二次函數(shù)的最小值；（2）根據(jù)當(dāng)c=10時(shí)，若在函數(shù)值y=l的情況下，只有一個(gè)自變量x的值與其對(duì)應(yīng)，得到x2+bx+5=1有兩個(gè)相等是實(shí)數(shù)根，求此時(shí)二次函數(shù)的解析式；（3）當(dāng)c=b2時(shí)，寫出解析式，分三種情況進(jìn)行討論即可．
【考點(diǎn)精析】掌握二次函數(shù)的最值是解答本題的根本，需要知道如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時(shí)，y最值=(4ac-b2)/4a．