精英家教網(wǎng)如圖,拋物線經(jīng)過A(4,0),B(1,0),C(0,-2)三點.
(1)求出拋物線的解析式;
(2)P是(1)中拋物線AB段上一動點,過P作PM⊥x軸,垂足為M,是否存在P點,使得以A,P,M為頂點的三角形與△ACO相似?若存在,請求出符合條件的點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
(3)在直線AC上方的拋物線上有一點D,使得△DCA的面積最大,求出點D的坐標(biāo).
分析:(1)因為拋物線經(jīng)過A(4,0),B(1,0),C(0,-2)三點,代入三點可確定解析式.
(2)如圖,設(shè)P點的橫坐標(biāo)為m,相應(yīng)的可求出縱坐標(biāo),根據(jù)相似三角形的性質(zhì),對應(yīng)邊成比例,可求出m的值,進而求出P的值.
(3)確定D點的橫坐標(biāo)的取值范圍,求出△DCA的面積的函數(shù)式,根據(jù)取值范圍可確定最大值.
解答:解:(1)∵該拋物線過點C(0,-2),
∴可設(shè)該拋物線的解析式為y=ax2+bx-2.
將A(4,0),B(1,0)代入,得
16a+4b-2=0
a+b-2=0.
(1分)
解得
a=-
1
2
b=
5
2
.
精英家教網(wǎng)
∴此拋物線的解析式為y=-
1
2
x2+
5
2
x-2
;(3分)

(2)存在.(4分)
如圖,設(shè)P點的橫坐標(biāo)為m,
∵P是拋物線AB段上一動點,∴1<m<4,
則P點的縱坐標(biāo)為-
1
2
m2+
5
2
m-2
,
當(dāng)1<m<4時,AM=4-m,PM=-
1
2
m2+
5
2
m-2

又∵∠COA=∠PMA=90°,
∴①當(dāng)
AM
PM
=
AO
OC
=
2
1
時,△APM∽△ACO,
4-m=2(-
1
2
m2+
5
2
m-2)

解得m1=2,m2=4(舍去),∴P(2,1).如圖(5分)精英家教網(wǎng)
②當(dāng)
AM
PM
=
OC
OA
=
1
2
時,△APM∽△CAO,
2(4-m)=-
1
2
m2+
5
2
m-2

解得m1=4,m2=5(均不合題意,舍去)
∴當(dāng)1<m<4時,P(2,1).
綜上所述,符合條件的點P為(2,1);
(3)如圖,設(shè)D點的橫坐標(biāo)為t(0<t<4),則D點的縱坐標(biāo)為-
1
2
t2+
5
2
t-2.
過D作y軸的平行線交AC于E.
設(shè)直線AC解析式為y=kx+b,將A與C坐標(biāo)代入得:
4k+b=0
b=-2

解得:
k=
1
2
b=-2
,
∴直線AC的解析式為y=
1
2
x-2.
∴E點的坐標(biāo)為(t,
1
2
t-2).
∴DE=-
1
2
t2+
5
2
t-2-(
1
2
t-2)=-
1
2
t2+2t,
∴S△DAC=S△DCE+S△DEA=
1
2
DE•h+
1
2
DE•(4-h)=
1
2
DE•4,
∴S△DAC=
1
2
×(-
1
2
t2+2t)×4=-t2+4t=-(t-2)2+4,
∴當(dāng)t=2時,△DAC面積最大.
∴D(2,1).
點評:本題考查二次函數(shù)的綜合運用,通過已知點來確定函數(shù)式,和通過相似三角形的性質(zhì)確定點的坐標(biāo),以及通過函數(shù)式和取值范圍求得最大值.
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精英家教網(wǎng)如圖,拋物線經(jīng)過A(4,0),B(1,0),C(0,-2)三點.
(1)求出拋物線的解析式;
(2)P是拋物線上一動點,過P作PM⊥x軸,垂足為M,是否存在P點,使得以A,P,M為頂點的三角形與△OAC相似?若存在,請求出符合條件的點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
(3)在直線AC上方的拋物線上有一點D,使得△DCA的面積最大,求出點D的坐標(biāo).

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精英家教網(wǎng)如圖:拋物線經(jīng)過A(-3,0)、B(0,4)、C(4,0)三點,
(1)求拋物線的解析式;
(2)求該拋物線的頂點坐標(biāo)以及最值;
(3)已知AD=AB(D在線段AC上),有一動點P從點A沿線段AC以每秒1個單位長度的速度移動;同時另一個動點Q以某一速度從點B沿線段BC移動,經(jīng)過t秒的移動,線段PQ被BD垂直平分,求t的值.

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(2013•蘇州一模)如圖,拋物線經(jīng)過A,C,D三點,且三點坐標(biāo)為A(-1,0),C(0,5),D(2,5),拋物線與x軸的另一個交點為B點,點F為y軸上一動點,作平行四邊形DFBG,
(1)B點的坐標(biāo)為
(3,0)
(3,0)
;
(2)是否存在F點,使四邊形DFBG為矩形?如存在,求出F點坐標(biāo);如不存在,說明理由;
(3)連結(jié)FG,F(xiàn)G的長度是否存在最小值?如存在求出最小值;若不存在說明理由;
(4)若E為AB中點,找出拋物線上滿足到E點的距離小于2的所有點的橫坐標(biāo)x的范圍:
-1<x<
5-
91
5
5+
91
5
<x<3
-1<x<
5-
91
5
5+
91
5
<x<3

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(2013•高要市二模)已知:如圖,拋物線經(jīng)過點O、A、B三點,四邊形OABC是直角梯形,其中點A在x軸上,點C在y軸上,BC∥OA,A(12,0)、B(4,8).
(1)求拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)D為OA的中點,動點P自A點出發(fā)沿A→B→C→O的路線移動,若線段PD將梯形OABC的面積分成1﹕3兩部分,求此時P點的坐標(biāo).

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(1)求拋物線的解析式;
(2)點D在BC上,且PD∥y軸,探索
BD•DCPD
的值;
(3)設(shè)拋物線的對稱軸為l,若以點P為圓心的⊙P與直線BC相切,請寫出⊙P的半徑R關(guān)于m函數(shù)關(guān)系式,并判斷⊙P與直線l的位置關(guān)系.

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