Question

（2013•高要市二模）已知：如圖，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)O、A、B三點(diǎn)，四邊形OABC是直角梯形，其中點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，BC∥OA，A（12，0）、B（4，8）．
（1）求拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）D為OA的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P自A點(diǎn)出發(fā)沿A→B→C→O的路線移動(dòng)，若線段PD將梯形OABC的面積分成1﹕3兩部分，求此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)所求拋物線的解析式為y=ax（x-12）+（a≠0），把A（12，0）、B（4，8）、C（0，0）三點(diǎn)代入即可求出a的值，進(jìn)而得出該拋物線的解析式；
（2）過(guò)點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F，先求出COAB的面積，由于點(diǎn)P的位置不能確定，故應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），由②當(dāng)點(diǎn)P在OC上時(shí)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，y）求出滿足題意的x和y的值即可得到P的坐標(biāo)．

解答：（1）解：∵拋物線經(jīng)過(guò)O（0，0）、A（12，0）、B（4，8），
∴設(shè)拋物線的解析式為：y=ax（x-12）…（1分）
∴將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入，得：8=4a（4-6），解得：a=-

1

4

，
∴所求拋物線的關(guān)系式為：y=-

1

4

x(x-12)=-

1

4

x2+3x；

（2）解：過(guò)點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F，
∵BF=8，AF=12-4=8
∴∠BAF=45°
∴S_梯形OABC=

1

2

(4+12)×8=64，
∴面積分成1﹕3兩部分，即面積分成16：48，
由題意得，動(dòng)點(diǎn)P整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程分三種情況，當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，
由于∵S_△ABD=

1

2

×6×8=24 ＞ 16
∴點(diǎn)P在BC上不能滿足要求．
①點(diǎn)P在AB上，設(shè)P（x，y）
由S_△APD=16，得

1

2

×AD×y=

1

2

×6×y=16
∴y=

16

3

…（6分）
過(guò)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，由∠BAF=45°
∴AE=PE=

16

3

，
∴x=12-

16

3

=

20

3

，
P(

20

3

，

16

3

)滿足要求．   
②點(diǎn)P在OC上，設(shè)P（0，y）．
∵S_△APD=

1

2

×AD×y=

1

2

×6×y=16
∴y=

16

3

，
∴P(0，

16

3

)滿足要求．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，此題涉及到用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、梯形的面積公式及三角形的面積公式，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出三角形及梯形的高是解答此題的關(guān)鍵．