Question

如圖，∠C=∠E=90°，EA=ED，CA=CB，且P為BD的中點(diǎn)，求證：PC=PE且PC⊥PE．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：延長(zhǎng)ED，交BC于F，連接PF，PC交EF于G，通過等腰三角形的性質(zhì)和證明△EDP≌△PFC就可以得出PE=PC，∠EPD=∠CPF，從而得出結(jié)論．

解答：證明：延長(zhǎng)ED，交BC于F，連接PF，PC交EF于G
∵AE=ED，∠E=∠C=90°，AC=BC，
∴∠ADE=45°
∴△DBF是等腰直角三角形，
∴∠DFB=∠DFC=90°，
∴四邊形ACFE是矩形，
∴AE=FC=ED
∵P是BD的中點(diǎn)，
∴PF⊥BD，PF=PD，∠PFB=45°，
∴∠EDP=∠PFC=135°．∠FPD=90°．
在△EDP和△PFC中

ED=CF ∠EDP=∠PFC PD=PF

，
∴△EDP≌△PFC（SAS），
∴PE=PC，∠EPD=∠CPF．
∵∠DPC+∠CPF=90°，
∴∠EPD+∠DPC=90°，
即∠EPG=90°，
∴PC⊥PE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，矩形的判定就性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，垂直的判定的運(yùn)用，解答時(shí)合理添加輔助線是難點(diǎn)．