Question

設(shè)S為平面上的一個(gè)有限點(diǎn)集（點(diǎn)數(shù)≥5），其中若干點(diǎn)染上紅色，其余的點(diǎn)染上藍(lán)色，設(shè)任何3個(gè)及3個(gè)以上的同色的點(diǎn)不共線．求證存在一個(gè)三角形，使得
（1）它的3個(gè)頂點(diǎn)涂有相同顏色；
（2）這三角形至少有一邊上不包含另一種顏色的點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：染色問(wèn)題

專題：

分析：（1）根據(jù)題意直接得出對(duì)于任意的五點(diǎn)涂上紅色、藍(lán)色，則必有三點(diǎn)同色；
（2）若結(jié)論（2）不成立，可取頂點(diǎn)同色的三角形中面積最小的一個(gè)，進(jìn)而得出矛盾，故得出原命題正確．

解答：證明：（1）∵S為平面上的一個(gè)有限點(diǎn)集（點(diǎn)數(shù)≥5），其中若干點(diǎn)染上紅色，其余的點(diǎn)染上藍(lán)色，任何3個(gè)及3個(gè)以上的同色的點(diǎn)不共線，
∴對(duì)于任意的五點(diǎn)涂上紅色、藍(lán)色，則必有三點(diǎn)同色，結(jié)論（1）成立．

（2）若結(jié)論（2）不成立，可取頂點(diǎn)同色的三角形中面積最小的一個(gè)，
因?yàn)橹挥杏邢迋�(gè)三角形，這是可以做到的，記為△ABC，
由于此三角形的每一邊上都有異色點(diǎn)，記為A₁，B₁，C₁，則△A₁B₁C₁也是同色三角形，
且面積小于△ABC的面積，這與△ABC面積的最小性矛盾；故（2）成立．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了染色問(wèn)題以及反證法的應(yīng)用，利用反證法證明得出是解題關(guān)鍵．