Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2﹣2x+3 的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊)，與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求A、B、C的坐標(biāo)；

（2）過拋物線上一點(diǎn)F作y軸的平行線，與直線AC交于點(diǎn)G．若FG=AC，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；

（3）E(0,﹣2)，連接BE．將△OBE繞平面內(nèi)的某點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△O′B′E′，O、B、E的對應(yīng)點(diǎn)分別為O′、B′、E′．若點(diǎn)B′、E′兩點(diǎn)恰好落在拋物線上，求點(diǎn)B′的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）A(﹣3，0)；B(1，0)；C(0，3)；（2）F點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣1，4)或(﹣2，3)或(，)或(，)；（3）(，)．

【解析】

（1）對于拋物線分別令x=0，y=0即可求解；
（2）先求出AC的解析式，由題意可知FG=2，設(shè)F（m，-m2-2m+3），則G（m，m+3），則有|-m2-2m+3-（m+3）|=2，解方程即可；
（3）如圖2中，旋轉(zhuǎn)90°后，對應(yīng)線段互相垂直且相等，則BE與互相垂直且相等．設(shè)（t，-t2-2t+3），則（t+2，-t2-2t+3-1）．因?yàn)?/span>在拋物線上，則有-（t+2）2-2（t+2）+3=-t2-2t+3-1，解方程即可．

（1）對于拋物線y=﹣x2﹣2x+3，

令x=0得y=3，

∴C(0，3)，

令y=0，則﹣x2﹣2x+3=0解得x=﹣3或1，

∴A(﹣3，0)，B(1，0)；C(0，3)．

（2）如圖1中，

∵A(﹣3，0)，C(0，3)，

∴直線AC解析式為y=x+3，OA=OC=3，

∴AC=3，FG=AC=2，

設(shè)F(m，﹣m2﹣2m+3)，則G(m，m+3)，

則|﹣m2﹣2m+3﹣(m+3)|=2，

解得m=﹣1或﹣2或或，

則F點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣1，4)或(﹣2，3)或(，)或(，)．

（3）如圖2中，旋轉(zhuǎn)90°后，對應(yīng)線段互相垂直且相等，則BE與B’E’互相垂直且相等．

設(shè)B′(t，﹣t2﹣2t+3)，則E′(t+2，﹣t2﹣2t+3﹣1)，

∵E′在拋物線上，則﹣(t+2)2﹣2(t+2)+3=﹣t2﹣2t+3﹣1，

解得：t=，則B′的坐標(biāo)為(，)．