Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+bx+c（b、c為常數(shù)）與x軸相交于點(diǎn)A（﹣1，0）、B（3，0），與y軸相交于點(diǎn)C，其對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)D，作直線BC．

（1）求拋物線的解析式．
（2）設(shè)點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
①如圖①，若點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)，求△PBC的面積．
②是否存在點(diǎn)P使△PBC的面積為6？若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=x2+bx+c（b、c為常數(shù)）與x軸相交于點(diǎn)A（﹣1，0）、B（3，0），

∴ ，解得 ，

∴拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3

（2）

解：①∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴P（1，4），且C（0，﹣3），

設(shè)直線BC解析式為y=kx+m，則有 ，解得 ，

∴直線BC解析式為y=x﹣3，

設(shè)對(duì)稱軸交BC于點(diǎn)E，如圖1，

則E（1，﹣2），

∴PE=﹣2﹣（﹣4）=2，

∴S△PBC= PEOB= ×3×2=3；

②設(shè)P（1，t），由①可知E（1，﹣2），

∴PE=|t+2|，

∴S△PBC= OBPE= |t+2|，

∴ |t+2|=6，解得t=2或t=﹣6，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）或（1，﹣6），

即存在滿足條件的點(diǎn)P，其坐標(biāo)為（1，2）或（1，﹣6）

【解析】（1）把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式，可求得b、c的值，可求得拋物線解析式；（2）①由拋物線解析式可求得P、C的坐標(biāo)，可求得直線BC解析式，設(shè)對(duì)稱軸交直線BC于點(diǎn)E，則可求得E點(diǎn)坐標(biāo)，可求得PE的長(zhǎng)，則可求得△PBC的面積；②設(shè)P（1，t），則可用t表示出△PBC的面積，可得到t的方程，則可求得P點(diǎn)坐標(biāo)．