【題目】在我們學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)教科書中,有一個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng),其具體操作過程是:
第一步:對(duì)折矩形紙片ABCD,使AD與BC重合,得到折痕EF,把紙片展開(如圖①);

第二步:再一次折疊紙片,使點(diǎn)A落在EF上,并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B,得到折痕BM,同時(shí)得到線段BN(如圖②).

如圖②所示建立平面直角坐標(biāo)系,請(qǐng)解答以下問題:
(Ⅰ)設(shè)直線BM的解析式為y=kx,求k的值;
(Ⅱ)若MN的延長線與矩形ABCD的邊BC交于點(diǎn)P,設(shè)矩形的邊AB=a,BC=b;
(i)若a=2,b=4,求P點(diǎn)的坐標(biāo);
(ii)請(qǐng)直接寫出a、b應(yīng)該滿足的條件.

【答案】解:
(Ⅰ)連接AN,延長MN交BC于點(diǎn)P,如圖,

∴EF垂直平分AB,
∴AN=BN,
由折疊知AB=BN,
∴AN=AB=BN,
∴△ABN為等邊三角形,
∴∠ABN=60°,
∴∠PBN=30°,
∵∠ABM=∠NBM=30°,
∴∠BNM=∠A=90°,
∴∠BPN=60°,∠MBP=∠MBN+∠PBN=60°,
∴∠BMP=60°,
∴∠MBP=∠BMP=∠BPM=60°,
∴△BMP是等邊三角形,
∵點(diǎn)M在直線y=kx上,
∴k= =tan60°=
(Ⅱ)(i)由題意可知AB=a=2,
在Rt△ABM中,cos∠ABM= ,
= ,解得BM= ,
∴BP=BM= ,
∴P( ,0);
(ii)由題意可知BC≥BP,
在Rt△BNP中,BN=BA=a,∠PBN=30°,
∴BP= ,
∴b≥
∴a≤ b
【解析】(Ⅰ)連接AN,延長MN交BC于點(diǎn)P,由折疊的性質(zhì)可證△BMP為等邊三角形,由M點(diǎn)的坐標(biāo)可求得k的值;(Ⅱ)(i)在Rt△ABM中,由三角形的性質(zhì)可求得BM的長,則可求得BP的長,可求得P點(diǎn)坐標(biāo);(ii)由題意可知BC≥BP,在Rt△BNP中,由三角函數(shù)的定義可用a表示出BP,則可得到a、b所滿足的條件.
【考點(diǎn)精析】利用等邊三角形的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知等邊三角形的三個(gè)角都相等并且每個(gè)角都是60°.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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如圖,將一個(gè)矩形紙片ABCD,放置在平面直角坐標(biāo)系中,A(0,0),B(4,0),D(0,3),M是邊CD上一點(diǎn),將△ADM沿直線AM折疊,得到△ANM.
(Ⅰ)當(dāng)AN平分∠MAB時(shí),求∠DAM的度數(shù)和點(diǎn)M的坐標(biāo);
(Ⅱ)連接BN,當(dāng)DM=1時(shí),求△ABN的面積;
(Ⅲ)當(dāng)射線BN交線段CD于點(diǎn)F時(shí),求DF的最大值.(直接寫出答案)
在研究第(Ⅱ)問時(shí),師生有如下對(duì)話:
師:我們可以嘗試通過加輔助線,構(gòu)造出直角三角形,尋找方程的思路來解決問題.
小明:我是這樣想的,延長MN與x軸交于P點(diǎn),于是出現(xiàn)了Rt△NAP,…
小雨:我和你想的不一樣,我過點(diǎn)N作y軸的平行線,出現(xiàn)了兩個(gè)Rt△NAP,…

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【題目】為了解學(xué)生參加戶外活動(dòng)的情況,和諧中學(xué)對(duì)學(xué)生每天參加戶外活動(dòng)的時(shí)間進(jìn)行抽樣調(diào)查,并將調(diào)查結(jié)果繪制成如圖兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,根據(jù)圖示,請(qǐng)回答下列問題:
(Ⅰ)被抽樣調(diào)查的學(xué)生有 人,并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖 ;
(Ⅱ)每天戶外活動(dòng)時(shí)間的中位數(shù)是 (小時(shí));
(Ⅲ)該校共有2000名學(xué)生,請(qǐng)估計(jì)該校每天戶外活動(dòng)時(shí)間超過1小時(shí)的學(xué)生有 人?

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【題目】如圖,直線EFMN相交于點(diǎn)O,∠MOE=30°,將一直角三角尺的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)O重合,直角邊OAMN重合,OB∠NOE內(nèi)部.操作:將三角尺繞點(diǎn)O以每秒的速度沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s).

(1)當(dāng)t為何值時(shí),直角邊OB恰好平分∠NOE?此時(shí)OA是否平分∠MOE?請(qǐng)說明理由;

(2)若在三角尺轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí),直線EF也繞點(diǎn)O以每秒的速度順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周,當(dāng)一方先完成旋轉(zhuǎn)一周時(shí),另一方同時(shí)停止轉(zhuǎn)動(dòng).

當(dāng)t為何值時(shí),OE平分∠AOB?

②OE能否平分∠NOB?若能請(qǐng)直接寫出t的值;若不能,請(qǐng)說明理由.

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1)若黃老師家5月份用水16噸,問應(yīng)交水費(fèi)多少元?

2)若黃老師家6月份交水費(fèi)30元,問黃老師家5月份用水多少噸?

3)若黃老師家7月用水a噸,問應(yīng)交水費(fèi)多少元?(用a的代數(shù)式表示)

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(1)已知g(x)=﹣2x2﹣3x+1,分別求出g(﹣1)和g(﹣2)的值.

(2)已知h(x)=ax3+2x2﹣x﹣14,,求a的值.

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A. B. C. 4 D. 8

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(2)如圖2,∠AOC=140°,則∠BOD=

(3)猜想∠AOC 與∠BOD 的大小關(guān)系,并結(jié)合圖1說明理由.

(4)三角尺 AOB 不動(dòng),將三角尺 COD OD 邊與 OA 邊重合,然后繞點(diǎn) O 按順時(shí)針或逆時(shí)針方向任意轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度,當(dāng)∠A OD(0°<AOD<90°)等于多少度時(shí),這兩塊三角尺各有一條邊互相垂直,直接寫出∠AOD 角度所有可能的值,不用說明理由.

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