Question

12．閱讀與證明：請閱讀以下材料，并完成相應的任務．
任務：請根據以上材料，證明以下結論：
傳說古希臘畢達哥拉斯（Pythagonas，約公元570年-約公元前500年）學派的數學家經常在沙灘上研究數學問題．他們在沙灘上畫點或用小石子來表示數，比如，他們研究過1、3、6，10…由于這些數可以用圖中所示的三角形點陣表示，他們就將其稱為三角形數，第n個三角形數可以用$\frac{n（n+1）}{2}$（n≥1）表示．
任務：請根據以上材料，證明以下結論：

（1）任意一個三角形數乘8再加1是一個完全平方數；
（2）連續(xù)兩個三角形數的和是一個完全平方數．

Answer 1

分析 （1）第n個三角形數$\frac{n（n+1）}{2}$乘8再加1，再利用完全平方公式整理得出答案即可；
（2）分別用n表示出第n、n+1個三角形數，進一步相加整理得出答案即可．

解答 證明：（1）∵$\frac{n（n+1）}{2}$×8+1=4n²+4n+1=（2n+1）²，
∴任意一個三角形數乘8再加1是一個完全平方數；

（2）∵第n個三角形數為$\frac{n（n+1）}{2}$，第n+1個三角形數為$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$，
∴這兩個三角形數的和為：$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$=$\frac{（n+1）（2n+2）}{2}$=（n+1）²，
即連續(xù)兩個三角形數的和是一個完全平方數．

點評 此題考查圖形與數字的變化規(guī)律及完全平方數，用字母表示出第n個三角形數，利用完全平方公式因式分解是解決問題的關鍵．