Question

12．閱讀與證明：請閱讀以下材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．
任務(wù)：請根據(jù)以上材料，證明以下結(jié)論：
傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯（Pythagonas，約公元570年-約公元前500年）學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上研究數(shù)學(xué)問題．他們在沙灘上畫點(diǎn)或用小石子來表示數(shù)，比如，他們研究過1、3、6，10…由于這些數(shù)可以用圖中所示的三角形點(diǎn)陣表示，他們就將其稱為三角形數(shù)，第n個三角形數(shù)可以用$\frac{n（n+1）}{2}$（n≥1）表示．
任務(wù)：請根據(jù)以上材料，證明以下結(jié)論：

（1）任意一個三角形數(shù)乘8再加1是一個完全平方數(shù)；
（2）連續(xù)兩個三角形數(shù)的和是一個完全平方數(shù)．

Answer 1

分析 （1）第n個三角形數(shù)$\frac{n（n+1）}{2}$乘8再加1，再利用完全平方公式整理得出答案即可；
（2）分別用n表示出第n、n+1個三角形數(shù)，進(jìn)一步相加整理得出答案即可．

解答 證明：（1）∵$\frac{n（n+1）}{2}$×8+1=4n²+4n+1=（2n+1）²，
∴任意一個三角形數(shù)乘8再加1是一個完全平方數(shù)；

（2）∵第n個三角形數(shù)為$\frac{n（n+1）}{2}$，第n+1個三角形數(shù)為$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$，
∴這兩個三角形數(shù)的和為：$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$=$\frac{（n+1）（2n+2）}{2}$=（n+1）²，
即連續(xù)兩個三角形數(shù)的和是一個完全平方數(shù)．

點(diǎn)評 此題考查圖形與數(shù)字的變化規(guī)律及完全平方數(shù)，用字母表示出第n個三角形數(shù)，利用完全平方公式因式分解是解決問題的關(guān)鍵．