Question

如圖1，在Rt△A′OB′中，∠B′A′0=90°，A′，B′兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（2，-1）和（0，-5），將A′0B′繞點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，使OB’落在x軸正半軸上，得△AOB，點(diǎn)A′的對應(yīng)點(diǎn)是A，點(diǎn)B’的對應(yīng)點(diǎn)是B．
（1）寫出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，并求直線AB的解析式；
（2）如圖2，將△A0B沿垂直于x軸的線段CD折疊，（點(diǎn)C在x軸上，且不與點(diǎn)B重合，點(diǎn)D在線段AB上），使點(diǎn)B落在x軸上，對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，0）．
①當(dāng)x為何值時(shí)，線段DE平分△AOB的面積；
②是否存在這樣的點(diǎn)使得△AED為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
③設(shè)△CDE與△AOB重疊部分的面積為S，直接寫出S與點(diǎn)C的橫坐標(biāo)x之間的函數(shù)關(guān)系式（包括自變量x的取值范圍）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：A′的橫坐標(biāo)實(shí)際是A點(diǎn)的縱坐標(biāo)，A′的縱坐標(biāo)的絕對值實(shí)際是A點(diǎn)橫坐標(biāo)，由此可得出A點(diǎn)的坐標(biāo)，同理可求出B點(diǎn)的坐標(biāo)．已知了A、B的坐標(biāo)，可用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式．
（2）①當(dāng)E點(diǎn)與O重合時(shí)，不難得出△EDB的面積＞

1

2

△AOB的面積，因此當(dāng)線段DE平分△AOB的面積時(shí)，E在O點(diǎn)右側(cè)．可用x表示出BC，CD的值，進(jìn)而可得求出△BDE的面積，然后根據(jù)其面積為△AOB面積的一半可得出一個(gè)關(guān)于x的方程，據(jù)此可求出x的值．
②本題要分情況進(jìn)行討論：
一：當(dāng)∠ADE=90°時(shí)，∠EDB=90°，顯然不成立；
二：當(dāng)∠EAD=90°時(shí)，E，O重合，那么BE=BO，據(jù)此可求出x的值；
三：當(dāng)∠AED=90°時(shí)，可過A作x軸的垂線，通過構(gòu)建相似三角形來求出x的值．
③本題要分情況進(jìn)行討論：
一：當(dāng)

5

2

≤x＜5時(shí)，E在△AOB內(nèi)，重合部分的面積就是△CDE的面積；
二：2≤x＜

5

2

時(shí)，E在△AOB外部，重合部分是個(gè)不規(guī)則的四邊形，設(shè)DE與OA交于P，那么重合部分的面積可用△CDE的面積減去△EOP的面積來求得．
綜上所述，即可求出不同x的取值范圍內(nèi)S，x的函數(shù)關(guān)系式．

解答：解：（1）A（1，2），B（5，0），
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，則有：

k+b=2 5k+b=0

，
解得：

k=- 1 2 b= 5 2

，
∴直線AB的解析式為y=-

1

2

x+

5

2

．

（2）①當(dāng)x=

5

2

時(shí)，CD=y=

5-x

2

=

5

4

，S_△DEB=

1

2

×5×

5

4

=

25

8

＞3，
∴點(diǎn)E在O的右邊．
由題意，得：S_△DEB=

1

2

×2（5-x）×

5-x

2

=

5

2

，x=5+

5

（舍去），
∴x=5-

5

．
②當(dāng)∠ADE=90°時(shí)，得∠DBE=∠DEB=45°，舍去，
當(dāng)∠EAD=90°時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)O重合，得x=

5

2

．
當(dāng)∠AED=90°時(shí)，作AH⊥OB于H，證明△AHE∽△DCE，可得HE=1．
∴OE=2．
∴2+2（5-x）=5，x=

7

2

．

③當(dāng)

5

2

≤x＜5時(shí)，S=

1

2

×（5-x）×

5-x

2

=

1

4

（x-5）²；
當(dāng)2≤x＜

5

2

時(shí)，設(shè)DE、OA交于P，作PM⊥OB與M，設(shè)PM=h，則OM=

h

2

，EM=2h，OE=5-2x．
∴5-2x+

h

2

=2h，h=

2

3

（5-2x），
∴S=

1

2

×（5-x）×

5-x

2

-

1

2

×（5-2x）×

2

3

（5-2x）=-

13

12

x²+

25

6

x-

25

12

．

點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、圖形的翻折變換、圖形的面積求法等知識及綜合應(yīng)用知識、解決問題的能力．