Question

6．如圖1，拋物線y=ax²+（a+3）x+3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（4，0），與y軸交于點(diǎn)B，在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)E（m，0）（0＜m＜4），過點(diǎn)E作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M．
（1）求a的值和直線AB的函數(shù)表達(dá)式；
（2）設(shè)△PMN的周長為C₁，△AEN的周長為C₂，若$\frac{{C}_{1}}{{C}_{2}}$=$\frac{6}{5}$，求m的值；
（3）如圖2，在（2）條件下，將線段OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OE′，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°），連接E′A、E′B，求E′A+$\frac{2}{3}$E′B的最小值．

Answer 1

分析 （1）令y=0，求出拋物線與x軸交點(diǎn)，列出方程即可求出a，根據(jù)待定系數(shù)法可以確定直線AB解析式．
（2）由△PNM∽△ANE，推出$\frac{PN}{AN}$=$\frac{6}{5}$，列出方程即可解決問題．
（3）在y軸上 取一點(diǎn)M使得OM′=$\frac{4}{3}$，構(gòu)造相似三角形，可以證明AM′就是E′A+$\frac{2}{3}$E′B的最小值．

解答 解：（1）令y=0，則ax²+（a+3）x+3=0，
∴（x+1）（ax+3）=0，
∴x=-1或-$\frac{3}{a}$，
∵拋物線y=ax²+（a+3）x+3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（4，0），
∴-$\frac{3}{a}$=4，
∴a=-$\frac{3}{4}$．
∵A（4，0），B（0，3），
設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，則$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線AB解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+3．

（2）如圖1中，

∵PM⊥AB，PE⊥OA，
∴∠PMN=∠AEN，∵∠PNM=∠ANE，
∴△PNM∽△ANE，
∴$\frac{PN}{AN}$=$\frac{6}{5}$，
∵NE∥OB，
∴$\frac{AN}{AB}$=$\frac{AE}{OA}$，
∴AN=$\frac{5}{4}$（4-m），
∵拋物線解析式為y=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x+3，
∴PN=-$\frac{3}{4}$m²+$\frac{9}{4}$m+3-（-$\frac{3}{4}$m+3）=-$\frac{3}{4}$m²+3m，
∴$\frac{-\frac{3}{4}{m}^{2}+3m}{\frac{5}{4}（4-m）}$=$\frac{6}{5}$，
解得m=2．

（3）如圖2中，在y軸上 取一點(diǎn)M′使得OM′=$\frac{4}{3}$，連接AM′，在AM′上取一點(diǎn)E′使得OE′=OE．

∵OE′=2，OM′•OB=$\frac{4}{3}$×3=4，
∴OE′²=OM′•OB，
∴$\frac{OE′}{OM′}$=$\frac{OB}{OE′}$，∵∠BOE′=∠M′OE′，
∴△M′OE′∽△E′OB，
∴$\frac{M′E′}{BE′}$=$\frac{OE′}{OB}$=$\frac{2}{3}$，
∴M′E′=$\frac{2}{3}$BE′，
∴AE′+$\frac{2}{3}$BE′=AE′+E′M′=AM′，此時(shí)AE′+$\frac{2}{3}$BE′最�。▋牲c(diǎn)間線段最短，A、M′、E′共線時(shí)），
最小值=AM′=$\sqrt{{4}^{2}+（\frac{4}{3}）^{2}}$=$\frac{4}{3}$$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、待定系數(shù)法、最小值問題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形，找到線段AM′就是E′A+$\frac{2}{3}$E′B的最小值，屬于中考?jí)狠S題．