Question

11．如圖，已知P是等邊△ABC內(nèi)一點，PA=3，PC=4，PB=5．求：
（1）∠APC的度數(shù)；
（2）求△ABC的邊長．

Answer 1

分析 （1）先把△APC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°可得到△ABD，如圖，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AD=AP=3，BD=PC=4，∠DAP=60°，∠ADB=∠APC，則可判斷△ADP為等邊三角形，所以DP=AP=3，∠ADP=60°，然后利用勾股定理的逆定理證明△BDP為直角三角形，∠BDP=90°，于是得到∠ADB=∠ADP+∠BDP=150°，
（2）作BE⊥AD于E，如圖，先計算∠BDE=30°，再利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到BE=$\frac{1}{2}$BD=2，DE=$\sqrt{3}$BE=2$\sqrt{3}$，然后在Rt△ABE中利用勾股定理計算AB．

解答 解：（1）∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
把△APC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°可得到△ABD，如圖，
∴AD=AP=3，BD=PC=4，∠DAP=60°，∠ADB=∠APC，
∴△ADP為等邊三角形，
∴DP=AP=3，∠ADP=60°，
在△BDP中，∵DP=3，DB=4，BP=5，
而3²+4²=5²，
∴DP²+DB²=BP²，
∴△BDP為直角三角形，∠BDP=90°，
∴∠ADB=∠ADP+∠BDP=60°+90°=150°，
∴∠APC=150°；
（2）作BE⊥AD于E，如圖，
∵∠ADB=150°，
∴∠BDE=30°，
在Rt△BDE中，BE=$\frac{1}{2}$BD=2，DE=$\sqrt{3}$BE=2$\sqrt{3}$，
∴AE=AD+DE=3+2$\sqrt{3}$，
在Rt△ABE中，AB=$\sqrt{B{E}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+（3+2\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{25+12\sqrt{3}}$，
即△ABC的邊長為$\sqrt{25+12\sqrt{3}}$．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理的逆定理．