Question

如圖，邊長為1的等邊△OAB，頂點(diǎn)A在x軸上，將△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，使點(diǎn)A落在拋物線y=ax²（a＜0）的圖象上．
（1）求拋物線y=ax²的表達(dá)式；
（2）等邊△OAB繼續(xù)繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A再次落在拋物線y=ax²的圖象上．寫出這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)和最少旋轉(zhuǎn)的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）旋轉(zhuǎn)角為30°是特殊角，此時(shí)OA₁=OA=1，過A₁作x軸的垂線，解直角三角形可得A₁的坐標(biāo)，再代入拋物線y=ax²可求解析式；
（2）根據(jù)拋物線的對稱性，可猜想等邊△OAB繼續(xù)繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A再次落在拋物線y=ax²的圖象上時(shí)，OA與x軸負(fù)半軸夾角為30°，再次旋轉(zhuǎn)120°，此時(shí)點(diǎn)A與A₁關(guān)于y軸對稱．

解答：解：（1）∵△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，A（1，0），則A₁（

3

2

，-

1

2

），
把x=

3

2

，y=-

1

2

代入y=ax²
得a=-

2

3

，
∴y=-

2

3

x2．

（2）等邊△OAB繼續(xù)繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A再次落在拋物線y=ax²的圖象，這時(shí)旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)A坐標(biāo)為A₂（-

3

2

，-

1

2

），
旋轉(zhuǎn)角為∠A₂OA₁=120°．

點(diǎn)評：本題考查了坐標(biāo)系里的旋轉(zhuǎn)問題，拋物線的對稱性問題，充分體現(xiàn)了形數(shù)結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．