【題目】已知,如圖,拋物線y=﹣x2+ax+b與x軸從左至右交于A、B兩點,與y軸正半軸交于點C.設∠OCB=α,∠OCA=β,且tanα﹣tanβ=2,OC2=OAOB.
(1)△ABC是否為直角三角形?若是,請給出證明;若不是,請說明理由;
(2)求拋物線的解析式;
(3)若拋物線的頂點為P,求四邊形ABPC的面積.
【答案】(1)△ABC是直角三角形,理由見解析;(2)拋物線的解析式為:y=﹣x2+2x+1;(3)四邊形ABPC的面積為.
【解析】試題分析:(1)利用已知得出Rt△BOC∽Rt△COA,進而得出∠OCA+∠OCB=90°,即可得出答案;
(2)由題意可得,方程﹣x2+ax+b=0有兩個不同的實數(shù)根,進而得出C點坐標,可得出b的值,再利用tanα=,tanβ=,由tanα﹣tanβ=2,得出a的值進而得出答案;
(3)作PF⊥x軸于點F,根據(jù)S四邊形ABPC=S△PDB﹣S△CDA=DBPF﹣DAOC,進而得出答案.
試題解析:(1)△ABC是直角三角形.
理由如下:
∵OC2=OAOB,∴=,
又∵∠BOC=∠COA=90°,∴Rt△BOC∽Rt△COA,∴∠OCB=∠OAC,
又∵∠OCA+∠OAC=90°,∴∠OCA+∠OCB=90°,
即∠ACB=90°,∴△ABC是直角三角形;
(2)∵拋物線與x軸交于A、B兩點,
∴方程﹣x2+ax+b=0有兩個不同的實數(shù)根,
設這兩個根分別為x1、x2,且x1<x2,顯然,x1<0,x2>0,
得A、B兩點的坐標分別為A(x1,0)、B(x2,0),
由根與系數(shù)的關系,有x1+x2=a,x1x2=﹣b,
對于拋物線y=﹣x2+ax+b,當x=0時,y=b,∴C點的坐標為C(0,b);
由已知條件OC2=OAOB,得b2=(﹣x1)x2,即b2=﹣x1x2,∴b2=b,
∵點C在y軸的正半軸上,∴b>0,從而得b=1,
∵tanα=,tanβ=,由tanα﹣tanβ=2,得﹣=2,即OB﹣OA=2OC,
得x2﹣(﹣x1)=2b,x2+x1=2b,即a=2b,∴a=2,
∴拋物線的解析式為:y=﹣x2+2x+1;
(3)由拋物線的解析式y(tǒng)=﹣x2+2x+1,配方得:y=﹣(x﹣1)2+2,
∴其頂點P的坐標為P(1,2).
解方程﹣x2+2x+1=0,得x1=1﹣,x2=1+,∴A(1﹣,0),B(1+,0),
解法一:設過P、C兩點的直線與x軸交于點D,
直線的解析式為:y=kx+1,把P(1,2)坐標代入,得k=1,
∴直線PC:y=x+1,當y=0時,x=﹣1,即點D的坐標為D(﹣1,0).
∵﹣1<1﹣,∴點D在點A的左邊,
作PF⊥x軸于點F,
∴S四邊形ABPC=S△PDB﹣S△CDA=DBPF﹣DAOC
= [(1+)+1]×2﹣ [(1﹣)+1]×1
=,
即四邊形ABPC的面積為.
解法二:過點P作PF⊥x軸于點F,
則∴S四邊形ABPC=S△OAC+S梯形COFP+S△PFB
=OAOC+(OC+PF)OF+FBPF
=(﹣1)×1+(1+2)×1+(1+﹣1)×2
=;
即四邊形ABPC的面積為.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖是平面直角坐標系及其中的一條直線,該直線還經過點C(3,﹣10).
(1)求這條直線的解析式;
(2)若該直線分別與x軸、y軸交于A、B兩點,點P在x軸上,且S△PAB=6S△OAB,求點P的坐標.
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【題目】如圖,菱形EFGH的三個頂點E、G、H分別在正方形ABCD的邊AB、CD、DA上,連接CF.
(1)求證:∠HEA=∠CGF;
(2)當AH=DG時,求證:菱形EFGH為正方形.
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【題目】如圖,△ABC中,D是AB的中點,DE⊥AB,∠ACE+∠BCE=180°,EF⊥AC交AC于F,AC=12,BC=8,則AF=________.
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【題目】下列命題中,真命題是( 。
A. 平行四邊形的對角線相等 B. 矩形的對角線平分對角
C. 菱形的對角線互相平分 D. 梯形的對角線互相垂直
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【題目】已知二次函數(shù)(a≠0)的圖象如圖所示,該拋物線與x軸的一個交點(-1,0)為請回答以下問題
(1)求拋物線與x軸的另一個交點坐標
(2)一元二次方程的解為
(3)不等式的解集是
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