Question

2．在Rt△ACB中，∠C=90°，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，cos∠CBD=$\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，則sin∠ABD=$\frac{\sqrt{285}}{76}$．

Answer 1

分析 過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB，如圖所示．設(shè)BD=4x，可根據(jù)三角函數(shù)和勾股定理求出BC、CD（AD）、AC、AB的值（用x表示），要求sin∠ABD，只需求出DH的值（用x表示），只需證明△AHD∽△ACB，并利用相似三角形的性質(zhì)就可解決問(wèn)題．

解答 解：過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB，如圖所示．
在Rt△BCD中，
cos∠CBD=$\frac{BC}{BD}$=$\frac{{\sqrt{15}}}{4}$．
設(shè)BD=4x，則BC=$\sqrt{15}$x，
∴CD=$\sqrt{（4x）^{2}-（\sqrt{15}x）^{2}}$=x．
∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，
∴AD=CD=x，
∴AC=2x，AB=$\sqrt{（\sqrt{15}x）^{2}+（2x）^{2}}$=$\sqrt{19}$x．
∵∠A=∠A，∠DHA=∠C=90°，
∴△AHD∽△ACB，
∴$\frac{DH}{BC}$=$\frac{AD}{AB}$，
∴$\frac{DH}{\sqrt{15}x}$=$\frac{x}{\sqrt{19}x}$，
∴DH=$\frac{\sqrt{285}}{19}$．
在Rt△BHD中，
sin∠ABD=$\frac{DH}{BD}$=$\frac{\sqrt{285}}{76}$．
故答案為$\frac{\sqrt{285}}{76}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)的定義、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，題目中若涉及到三角函數(shù)，通常需放到直角三角形中考慮．