Question

如圖，E是正方形ABCD的邊AD上的動點，F是邊BC延長線上的一點，且BF=EF，AB=12，設AE=x，BF=y．
（1）當△BEF是等邊三角形時，求BF的長；
（2）求y與x的函數解析式，并寫出它的定義域；
（3）把△ABE沿著直線BE翻折，點A落在點A′處，試探索：△A′BF能否為等腰三角形？如果能，請求出AE的長；如果不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）當△BEF是等邊三角形時，有∠ABE=∠ABC-∠EBC=90°-60°=30°，則可解Rt△ABE，求得BF即BE的長．
（2）作EG⊥BF，垂足為點G，則四邊形AEGB是矩形，在Rt△EGF中，由勾股定理知，EF²=（BF-BG）²+EG²．即y²=（y-x）²+12²．故可求得y與x的關系．
（3）當把△ABE沿著直線BE翻折，點A落在點A'處，應有∠BA'F=∠BA'E=∠A=90°，若△A'BF成為等腰三角形，必須使A'B=A'F=AB=12，有FA′=EF-A′E=y-x=12，故可由（1）得到的y與x的關系式建立方程組求得AE的值．
解答：解：（1）當△BEF是等邊三角形時，∠ABE=30°．
∵AB=12，
∴AE=，
∴BF=BE=．

（2）作EG⊥BF，垂足為點G，

根據題意，得EG=AB=12，FG=y-x，EF=y，
∴y²=（y-x）²+12²，
∴所求的函數解析式為（0＜x＜12）．


（3）∵∠AEB=∠FBE=∠FEB，
∴點A'落在EF上，
∴A'E=AE，∠BA'F=∠BA'E=∠A=90，
∴要使△A'BF成為等腰三角形，必須使A'B=A'F．
而A'B=AB=12，A'F=EF-A'E=BF-A'E，
∴y-x=12．
∴-x=12．
整理得x²+24x-144=0，
解得，
經檢驗：都原方程的根，
但不符合題意，舍去，
當AE=時，△A'BF為等腰三角形．
點評：本題利用了等邊三角形和正方形、矩形、等腰三角形的性質，勾股定理求解．