Question

如圖①，已知△ABC中，AB=AC，點(diǎn)P是BC上的一點(diǎn)，PN⊥AC于點(diǎn)N，PM⊥AB于點(diǎn)M，CG⊥AB于點(diǎn)G點(diǎn)．
（1）則CG、PM、PN三者之間的數(shù)量關(guān)系是

 

；
（2）如圖②，若點(diǎn)P在BC的延長(zhǎng)線上，則PM、PN、CG三者是否還有上述關(guān)系，若有，請(qǐng)說(shuō)明理由，若沒(méi)有，猜想三者之間又有怎樣的關(guān)系，并證明你的猜想；
（3）如圖③，AC是正方形ABCD的對(duì)角線，AE=AB，點(diǎn)P是BE上任一點(diǎn)，PN⊥AB于點(diǎn)N，PM⊥AC于點(diǎn)M，猜想PM、PN、AC有什么關(guān)系；（直接寫(xiě)出結(jié)論）

Answer 1

分析：（1）過(guò)P作PH垂直CG于H，可通過(guò)證明△PNC≌△PHC得出CG=GH+HC=PM+PN．
（2）過(guò)C作CH垂直MP于H，可通過(guò)證明△PNC≌△PHC得出PM=CG+PN．
（3）令點(diǎn)P和點(diǎn)B重合可輕易得出猜想．

解答：
解：（1）方法一：過(guò)P作PH垂直CG于H，
∵PM⊥AB，CG⊥AB，
∴∠AMP=∠MGH=∠PHG=90°，
∴四邊形MPHG是矩形，
∴PM=GH，PH∥AB，
∴∠HPC=∠B，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠HPC=∠NCP，
又∵PH⊥CG，PN⊥AC，
∴∠PHC=∠CNP=90°，
∴△PHC≌△CNP，
∴CH=PN，
∴CG=GH+HC=PM+PN．

方法二：PM+PN=CG．
連接AP，則△ABC被分成△APB與△APC，
則△ABC的面積=△APB的面積+△APC的面積，
即

1

2

×AC×CG=

1

2

×AB×PM+

1

2

×AC×PN，
∵AB=AC，
∴PM+PN=CG；


（2）過(guò)C作CH垂直MP于H，
∠HPC+∠ABC=90°∠NPC+∠PCN=90
∵∠ABC=∠ACB=∠PCN
∴∠HPC=∠NPC
又PH⊥CG，PN⊥AC
∴△PNC≌△PHC?PM=CG+PN．

（3）猜想PM+PN=

1

2

AC（令點(diǎn)P與點(diǎn)B重合）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查通過(guò)全等三角形轉(zhuǎn)化線段從而得出線段之間的關(guān)系，在第三問(wèn)中關(guān)鍵在于選取點(diǎn)P的位置與點(diǎn)B重合，可很容易的得出正確的猜想．